Unabhängigkeit beweisen

19.10.2011, 20:07	Guest123	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit beweisen Meine Frage: Es ist $\begin{eqnarray} x = \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} (1,x,x^2) \end{eqnarray}$ über Q linear unabhängig sind? Danke
19.10.2011, 20:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.b. indem man zeigt, dass das Polynom $\begin{eqnarray} f=x^3-2 \end{eqnarray}$ irreduzibel über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist. Daraus folgt, dass f das Minimalpolynom dieser Zahl ist. Daraus folgt direkt wie gewünscht die lineare Unabhängigkeit.
19.10.2011, 20:56	Guest123	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das auch durch elementare Rechnungen? Bin noch kann am Anfang von Algebra I.
20.10.2011, 13:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann etwas elementarer. Klar ist, dass stets 2 der 3 Zahlen linear unabhängig sind. Wenn es also eine nicht-triviale Linearkombination zur 0 gibt, so sind alle Koeffizienten nicht 0. Normieren führt uns also zu: $\begin{eqnarray} 0 = x^2-px+q \end{eqnarray}$ Dann ist aber $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{eqnarray}$ und ferner muss es 2 Lösungen geben (Denn $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ als doppelte Lösung entpuppt sich schnell als Unsinn), also ist $\begin{eqnarray} \frac{p^2}{4}-q > 0 \end{eqnarray}$ . Das kann man nun zum Widerspruch führen. Man sieht, dass diese sehr einfach aussehende Aufgabe schon recht kompliziert wird. Daher bedient man sich bei sowas gerne etwas mächtigeren Werkzeugen der Algebra

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