Umkehrfunktionen

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20.10.2011, 10:31	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktionen Ich versteh einfach nicht, wie ich rausfinden kann, ob eine Funktion umkehrbar ist. Ich habe folgende Funktion gegeben $\begin{eqnarray} f : x \to \frac{4x+1}{x+1} ; x\in \mathbb R _+ \end{eqnarray}$ die Frage ist: ob diese Funktion Umkehrbar ist und wie die Umkehrfunktion lautet. Ich habe $\begin{eqnarray} x=\frac{1-y}{y-4} \end{eqnarray}$ raus, indem ich einfach nach x aufgelöst habe. Aber wie finde ich raus, ob eine Funktion Umkehrbar ist, bevor ich sie umgestellt habe?
20.10.2011, 10:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei Umkehrfunktionen Unter Umständen kann man erkennen, daß eine Funktion nicht umkehrbar ist, wenn durch scharfes Hinsehen erkennbar ist, daß Funktionswerte mehrfach vorkommen. Bei streng monotonen Funktionen kommt das natürlich nicht vor. Insofern kann man an der Monotonie-Eigenschaft die Umkehrbarkeit ablesen.
20.10.2011, 10:42	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass nur bijektive Funktionen Umkehrbar sind?
20.10.2011, 10:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist im Grunde die Definition der Bijektivität.
20.10.2011, 11:12	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Hilfe
20.10.2011, 11:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
"bijektiv" und "umkehrbar" bedeutet dasselbe. Insofern ist dieser Satz eine Tautologie (ich sehe gerade, daß klarsoweit das schon gesagt hat). Wenn du eine Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ durch umkehrbare Operationen (dazu gehören auf jeden Fall die Grundrechenarten, wenn man von der Rolle der Null bei den Punktrechenarten absieht) nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflösen kannst, dann ist diese Funktion umkehrbar. Du hast es ja durch das formale Auflösen gerade gezeigt. Natürlich gehört noch die Angabe von Definitions- und Wertebereich dazu. Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} D_f = \mathbb{R}^{+} = (0,\infty) \end{eqnarray}$ vorgegeben. Jetzt fehlt noch der Wertebereich $\begin{eqnarray} W_f \end{eqnarray}$ . Du kannst das am besten an der umgeformten Gleichung ablesen: $\begin{eqnarray} x = \frac{1-y}{y-4} \end{eqnarray}$ Denn $\begin{eqnarray} x \in D_f \end{eqnarray}$ darf ja nur positiv sein. Ein Bruch ist aber genau dann positiv, wenn Zähler und Nenner beide zugleich positiv oder beide zugleich negativ sind. Aus dieser Bedingung kannst du die gültigen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte bestimmen. Sie geben dir den Wertebereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Und nur bezüglich der beiden Mengen $\begin{eqnarray} D_f,W_f \end{eqnarray}$ kann man von der Bijektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sprechen.
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20.10.2011, 11:26	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist $\begin{eqnarray} x \in \left[1,4\right[ \end{eqnarray}$
20.10.2011, 11:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, wenn wir von der Funktion f reden, ist $\begin{eqnarray} y \in \left[1,4\right[ \end{eqnarray}$ .
20.10.2011, 11:43	134340	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach genau, ich habs ja nach x umgestellt. Ich war gerade nur etwas verwirrt.
20.10.2011, 14:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das richtige Intervall für die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte ist $\begin{eqnarray} W_f = ]1,4[ \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ zählt man üblicherweise nicht zu $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{+} \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} D_f = ]0,\infty[ \end{eqnarray}$ kann man also zusammenfassend sagen: Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f: \ D_f \to W_f \, , \ \ x \mapsto y = \frac{4x+1}{x+1} \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Ihre Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ wird gegeben durch $\begin{eqnarray} f^{-1}: \ W_f \to D_f \, , \ y \mapsto x = \frac{1-y}{y-4} \end{eqnarray}$

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