Rechtwinkliges Dreieck-scheinbar einfache Aufgabe...

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mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »
Rechtwinkliges Dreieck-scheinbar einfache Aufgabe...
Hallo,

nach langer Zeit habe ich mal wieder ein Problem, womit ich nicht weiterkomme:

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Sei CH die von C ausgehende Höhe auf die Hypotenuse. Ferner seien P,Q die Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten AC bzw. BC. Es sei gegeben, dass AQ und HP senkrecht aufeinander stehen. Finde den Wert des Bruchs AH:BH.

Als Lösung ist angegeben: , also der goldene Schnitt.

Das gesuchte Verhältniss ist z.B. gleich tan^2(beta) wobei der Winkel Beta wie üblich bei B ist.
Ich habe keine Ahnung wie man auf diesen Wert kommt...
Interessieren würden mich auch eine Konstruktionslösung, sowie eine Lösung über komplexe Zahlen.
Man hat hier natürlich sehr viele ähnliche Dreiecke vorliegen, etwa BAQ und CPH und CPKQ ist ein Sehnenviereck.
Man ist übrigens fertig, wenn man zeigen kann, dass AH=BC gilt.


Ich freue mich wie immer über jeden Lösungsansatz smile


Bis denn mathe760 Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechtwinkliges Dreieck-scheinbar einfache Aufgabe...
aus dem kathetensatz - oder so - folgt:



da mir da zu viele rechtwinkelige und/oder ähnliche 3ecke herumschwirren, habe ich ein bißerl herum gerechnet und erhalte mit dem inkreisradius r:



woraus dein ergebnis folgt Augenzwinkern
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank riwe. Ich dachte es gibt da auch eine schöne elementar-geometrische Lösung. Naja ich werde jetzt erstmal versuchen selbst auf deine Gleichungen zu kommen.


Bis denn mathe760 Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es mir noch einmal angeschaut. es gibt einen einfachen elementar-geometrischen weg so:



mit erhält man

und daraus

woraus wieder mit

das gewünschte folgt Augenzwinkern
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank nochmal riwe, sowas habe ich gesucht smile



Bis denn mathe760 Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn´s noch problemchen geben sollte,
am einfachsten kommst du nun durch einsetzen von

und

ans ziel
 
 
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