Berechnung der Mantelfläche+ Volumen eines Zylinders

20.10.2011, 12:03	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Mantelfläche+ Volumen eines Zylinders Morgen Ich sitze gerade an einer Aufgabe, wo ich die Mantelfläche sowie das Volumen eines Zylinders mit dem Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und der Länge $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ bestimmen soll. Nur weiß leider gerade nicht, wie ich dort vorgehen soll. Ich denke ich muss die Formel für das Volumen bzw. Mantelfläche durch Integration herleiten. Hier ist die Formel für das Volumen ja: $\begin{eqnarray} dV=dxdydz \end{eqnarray}$ Muss ich dort dann einfach die Zylinderkoordinaten eintragen und nach diesen Integrieren? Wie sehen die einzelenen Grenzen aus? Die Polarkoordinaten sind ja bekannt: $\begin{eqnarray} x=R\cos(\alpha)<br /> y=R\sin(\alpha) <br /> z=l<br /> \end{eqnarray}$ Nun habe ich einfach oben eingesetzt: $\begin{eqnarray} \int_0^{z=l}\int_0^{2\pi}(\int_0^R \! R(\cos(\alpha)\sin(\alpha))z \, dR)\, d\alpha)\,dz \end{eqnarray*}$ Aber irgendwie mache ich da was falsch. Stimmen die Grenzen der Integrale? Edit: Hab mal die Funktion etwas gekürzt
20.10.2011, 12:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Mantelfläche+ Volumen eines Zylinders Da geht etwas durcheinander. Das ursprüngliche Integral lautet: $\begin{eqnarray} \int \int_M \int 1 ~ dx dy dz \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} M = \{(x,y,z) \| ~ 0 \leq x^2 + y^2 \leq R^2, ~ ~ ~ 0 \leq z \leq l\} \end{eqnarray}$ Und dieses Integral muß jetzt in Zylinderkoordinaten transformiert werden. Scheint mir aber keine Schulmathe zu sein.
20.10.2011, 12:47	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich lese nirgends in der Aufgabe, dass du die Formeln herleiten sollst. Also könntest du auch einfach die Formelsammlung nutzen g. Falls es aber tatsächlich so ist geht das ganz einfach mit der Formel für Rotationskörper. $\begin{eqnarray} \pi\int_0^{l}f(x)^2 dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} f(x)=\frac r 2 \end{eqnarray}$ Die formel für die Mantelfläche kann man mithilfe der Kreisumfangs und der Rechteckformel herleiten. mfg
20.10.2011, 12:55	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, das falsche Unterforum erwischt Danke für die Tipps. Habe nun durch die Rotationsformel $\begin{eqnarray} V=\piR²l \end{eqnarray}$ herausbekommen und für die Mantelfläche (indem man den Zylinder einfach "ausrollt" ) : $\begin{eqnarray} A=2\piRl \end{eqnarray}$ Aber ich hätte noch eine Frage: Wie bist du auf diese $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{r}{2} \end{eqnarray}$ gekommen?
20.10.2011, 13:03	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{r}{2} \end{eqnarray}$ ist natürlich quatsch g. Ich hatte irgendwie den Durchmesser im Kopf. Es muss natürlich $\begin{eqnarray} f(x)= r \end{eqnarray*}$ sein. mfg

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