Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen |
| 20.10.2011, 10:50 | Praktiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen ich hätte eine Frage bezüglich der Herangehensweise an folgendes Problem: Gegeben ist folgende Matrix: Das eps soll einen Fehler beschreiben. Fuer eps = 0 ist die Matrix Symmetrisch und fuer z.b. eps = 10 ^ - 6 eben nicht mehr. Wenn ich irgentein Minimierungsverfahren / oder Beispielsweise die Eigenwerte dieser Matrix berechnen soll und die Voraussetzung an das Verfahren ist, dass die Matrix Symmetrisch sein soll, dann kann ich theoretisch das verfahren nicht anwenden. Könnte ich dann Banal gesprochen die Matrix verfälschen in dem ich eps = 0 setzte und dann trotzdem das Verfahren anwende? Ich könnte dann argumentieren das die NährungsLösung nicht so stark von der lösung abweicht... gruß Pr. |
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| 25.10.2011, 12:54 | Praktiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hat da bisher niemand erfahrungen gesammelt , ob das so geht? |
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| 13.11.2011, 23:01 | Praktiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
da ich immernoch interesse habe ob es da meinungen gibt, erneuere ich das mal |
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| 14.11.2011, 09:17 | Riemannson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen
ich denke die Frage die sich hier aufdrängt, ist die nach der Kondition des Problems... bzgl. des Verfahrens musst du die Stabilität untersuchen... mit diesen Untersuchungen kannst du dann evtl argumentieren, dass ein Verfahren trotzdem angewendet werden kann oder eben nicht. |
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| 14.11.2011, 09:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen Wenn eine Voraussetzung ist, dass die Matrix symmetrisch sein soll, dann ist es zunächst einmal abzulehnen so vorgehen zu wollen.
Genauso ist es abzulehnen, einfach sagen zu wollen:
Ein einfaches Beispiel ist folgende Grafik. Deine Aussage ist: 0 und 0.01 unterscheiden sich nicht stark. Also ist es nicht schlimm anstatt f(0) f(0.01) zu berechnen. Ist dem wirklich so? Wichtige Begriffe hat Riemannson schon angeführt. |
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| 15.11.2011, 22:04 | Praktiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
d.h. dass ich überprüfen muss wie es mit dem Problem an sich aussieht (ob sich die fehler stark verstärken oder eben nicht) d.h. ich muesste zuerst wenn ich einen eigenwerte berechnen möchte die kondition der Iterationsmatrix bestimmen um dann aussagen darüber zu machen irgentwie regt mich dass auch auf, in jedem numerik skript dass ich bisher gesehen habe wird das thema sehr oberflächlich behandelt und ich weiß im endeffekt nicht wie ich in der Praxis auf sowas reagieren soll.... aber danke für die Antworten |
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| 15.11.2011, 22:10 | Praktiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sry für den doppelpost. falls ich aber unbedingt die matrix verfälschen möchte aus irgenteinem Grund (z.b. es spart mir 1 woche rechenzeit oder so) könnte ich dann so vorgehen: 1 ich untersuche das problem ob es gut konditioniert ist. da kommt zb raus ja. 2. dann suche ich mir ein verfahren dessen stabilität ich untersuche . u und finde raus dass dieses problem stabil berechnet werden kann... . kann ich es dann so berechnen? Habt ihr dazu evntl bsp oder gibt es da gute seiten im Internet? g Praktiker |
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| 15.11.2011, 22:42 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen
Vom streng mathematischen Standpunkt mag das zutreffen, aber es gibt meiner Meinung nach viele praktische Probleme (z.B. in der Kristallographie), bei denen Matrizen auftreten, deren Elemente aufgrund ihrer Herkunft als Meßwerte grundsätzlich mit einem Fehler behaftet sind, der z.B. die minimale Abweichung eines Eintrags von einer ganzen Zahl bewirkt, bei dem der Fachkundige jedoch direkt erkennen kann, daß es die ganze Zahl ist, die als Eintrag wesentlich ist. Ich sehe dann keinen wesentlichen Grund, die Matrix dann nach einer entsprechenden Begutachtung so zu verändern, daß bestimmte Rechenoperationen möglich sind, die es vorher nicht waren.
Das würde ich schon eher unterschreiben. Eine solche Aussage setzt nämlich voraus, daß ich einerseits die mathematischen Fallstricke des Verfahrens kenne und andererseits eine subjektive Definition von "nicht so stark" einführe. Wenn beides zutrifft, dann kann man natürlich pragmatisch so vorgehen. Aber man sollte es sich nicht zu einfach machen und der Bequemlichkeit halber annehmen, daß sich irgendetwas "robust" gegenüber kleinen Variationen der Parameter verhält. Daß scheint auf den ersten Blick vielleicht so zu sein, weil sich z.B. Naturwissenschaftler gerne genau solche Probleme herauspicken (weil die anderen sich nämlich als unhandlich bis unlösbar erweisen). Aber eher ist es ein Zeichen für unsere Beschränkung der Mittel zur Lösung der schwierigeren Probleme. Und noch eine Anmerkung zu deinem Problem. Bist du wirklich auf eine Formulierung mittels Matrixalgebra angewiesen? Evtl. kann man das Problem auch mit anderen mathematischen Mitteln darstellen. Ich denke konkret an den Unterschied eine Rotation einmal mittels Matrixalgebra darzustellen und ein anderes Mal mittels Quaternionen. In einem Fall macht die inverse Transformation unter Umständen genau deshalb Probleme, weil die Matrixeinträge minimal abweichen und so die Inverse der Matrix nicht mehr definiert ist. Bezogen auf die Darstellung desselben Problem mittels Quaternionen existiert dieses Problem meines Wissens nach aber nicht, minimale Abweichungen erlauben trotzdem die exakte Berechnung. Aus demselben Grund kann man meines Wissens nach Quaternionen auch vorteilhaft dazu benutzen Rotationen beliebig zu interpolieren. Gruß |
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| 15.11.2011, 23:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen Hallo Iridium, es im ging mir in meinem Post zunächst mal darum, dass mir etwas zu leichtfertig mit "was nicht passt wird passend gemacht" umgegangen wird. 
Für theoretische Untersuchungen von Problemen ist es ja immens wichtig, wie die Voraussetzungen sind.Praktisch sagte unser Prof "Verfahren xy läuft in der Praxis auch bei symmetrischen Matrizen in der Regel gut, nachweisen können wir es aber nur für solche, die positiv definit sind". Wenn man "manipuliert", muss man dies begründen. Man muss aber auch hier schon wieder den zweiten Punkt beachten. Wie wirken sich diese Veränderungen auf das Ergebnis aus. 2 Blickwinkel: - Durch Rundung verliere ich die Regularität einer Matrix, die eigentliche Matrix war aber regulär. Darf man Regularität wieder herstellen? - Die Matrix ist nicht regulär. Darf ich sie mir einfach regulär machen, nur weil sie "nahe" an einer regulären Matrix ist? Und selbst wenn Beziehungen stetig sind, weiß man immer noch nicht, welche Auswirkungen kleine Änderungen haben. Da gilt es auch zu suchen, ob Abschätzungen vorhanden sind.
Es ist daher imho zunächst wichtig, was du mit der Matrix eigentlich berechnen willst und wie.
Rechenzeit ist imho kein Argument. Iridium ist da vielleicht an Praxismethoden besser dran, bei mir lösen deine Worte nur aus, dass mich die Rechenergebnisse nicht interessieren würden, weil vorher alles erst mal "gepimpt" wurde. Generell sollte man nicht vom verfälschen, sondern von Näherungsproblemen sprechen. Meine Meinung.
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| 16.11.2011, 09:30 | Riemannson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ein gutes Buch dazu: Numerische Mathematik von Martin Hermann.
wenn du die Matrix verändern willst, kannst du das sicher machen! Wenn die neue Matrix dann die Eigenschaften erfüllt um ein gewünschtes Verfahren anwenden zu können, dann kannst du das auch sicher machen. ABER: gute Kondition und Stabilität sagen nur die Fehler werden nicht extrem groß, sie sagen aber nichts weiter über den Fehler aus. das heißt nur das bei der Berechnung auch schlimmere Fälle gibt bei denen die Fehler noch größer wären! und ein nicht extrem großer Fehler kann zum einen oder 100000 (bspw. km in der Astronmie) sein. Das zerstört dann die Argumentation, dass das Ergebnis nicht stark von ursprünglichen abweicht. |
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| 16.11.2011, 21:41 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Rundungsfehler / Symmetrie Matrizen
Ja, das verstehe ich. Es gibt sicher viel mehr Leute, die, ohne sich viele Gedanken zu machen, hemmunglos etwas manipulieren und dann nicht mal bemerken, wie falsch sie damit liegen, als den anderen Fall.
Ja, stimme zu. Und das Begründen erfordert erst mal das Nachdenken über das Problem, finde ich. Rechenzeit kann meiner Meinung nach ein Argument sein, dann würde ich aber sowieso von einer "Abschätzung" sprechen, Überschlagsrechnungen oder Größenordnungsabschätzungen kann man ja fast immer auch so anstellen, sogar ohne sich an das Rechenschema halten zu müssen, das man bei einer genaueren Berechnung verwendet. Ansonsten ist man als praktischer Wissenschaftler oft sehr pragmatisch, bevor man kein Ergebnis bekommt, nimmt man lieber eine Näherung und im Zweifel auch eine schlechte, wenn es keine bessere Alternative gibt. Wohin das dann führt, sieht man auf Konferenzen von Theoretikern, z.B. in der theoretischen Chemie, wenn die sich gegenseitig zerfleischen, weil der jeweils andere die vermeintlich schlechtere Methode verwendet, obwohl sie beide nur Näherung sind (ein Prof. meinte dazu nur einmal, mal muß solche Diskussionen abbrechen, bevor sie "theologisch" werden :-) ). In diesem Sinne...viele Grüße und ciao |
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