Umkreismittelpunkt im Raum

20.10.2011, 13:51	Xelly	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkreismittelpunkt im Raum Meine Frage: Hallo, Ich stehe gerade von einem Problem bei dem ich einfach nicht weiterkomme Gegeben sind mir die räumlichen Koordinaten dreier Punkte. Für die weitere Rechnung benötige ich die Koordiaten des Umkreismittelpunktes und den dazugehörigen Radius. Ganz normal in einer Ebene wäre es für mich kein Problem, aber dreidimensional stoße ich an meine Grenzen. Meine Ideen: Ich glaube, den Radius habe ich schon mal richtig ermittelt. Ich habe mittels dem "Satz von Heron" die Fläche des Dreiecks bestimmt und dann über r=abc/(4*A) (s. Wiki... Apollonisches Verfahren) den Radius bestimmt. Könnt ihr mir Tipps oder Ansätze zeigen, wie ich auf die Mittelpunktkoordinaten komme? Vielen Dank
20.10.2011, 14:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache mit dem Umkreisradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist nicht günstig. Denn jetzt müßtest du drei Kugeln um die Dreiecksecken $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ miteinander schneiden. Besser ist es, anders vorzugehen. Stelle dir eine Ebene $\begin{eqnarray} S_{AB} \end{eqnarray}$ vor, die durch die Mitte der Strecke $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ geht und senkrecht auf $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ steht. Das ist die Symmetrieebene der Punkte $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Und dann eine zweite Symmetrieebene, etwa $\begin{eqnarray} S_{AC} \end{eqnarray}$ . Dazu nimmst du noch die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ des Dreiecks $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ . Die drei Ebenen $\begin{eqnarray} S_{AB}, S_{AC}, E \end{eqnarray}$ schneiden sich dann im Umkreismittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ des Dreiecks. (Das ist die Übertragung der aus der Elementargeometrie bekannten Tatsache, daß sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks im Umkreismittelpunkt treffen, auf den Raum. Was im Zweidimensionalen die Zeichenebene ist, ist hier $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ .) Von allen drei Ebenen kannst du die Normalformen aufstellen. Damit hast du ein lineares Gleichungssystem vom Typ 3×3 zu lösen.
20.10.2011, 16:13	Xelly	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank !!! Danke Leopold für diese schnelle Antwort. So wie du es beschrieben hast hat es wunderbar geklappt

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