Lipschitz-Stetigkeit einer Funktion im Wiener Raum

20.10.2011, 14:51

Klijua

Lipschitz-Stetigkeit einer Funktion im Wiener Raum

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Abbildung $\begin{eqnarray*} S: \mathbb{W}_T \mapsto \mathbb{W}_T \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} <br /> S_t \left(\omega\right) = \sup_{s\in \left[t,T\right]} |\omega_s - \omega_t|<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{W} \end{eqnarray*}$ bezeichne den Wiener Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{W} = \left\{f\in C\left(\left[0,\infty\right), \mathbb{R}\right) : f\left(0\right) =0\right\} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathbb{W}_T = \left\{f\in C\left(\left[0,T\right], \mathbb{R}\right) : f\left(0\right) =0\right\} \end{eqnarray*}$ bezeichne die Spur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,T\right] \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage ist: Warum ist die Abbildung S Lipschitz-stetig?

Meine Ideen:
Dann müsste es ja eine Konstante C geben, so dass
$\begin{eqnarray*} <br /> |S_t\left(\omega \right) - S_t \left(\omega' \right)| \leq C |\omega - \omega'|<br /> \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} \omega, \omega' \in \mathbb{W}_T \end{eqnarray*}$ gilt.
Vielleicht ist das auch schon falsch, aber ich kann mir das leider nicht erklären. Und vor allem weiß ich nicht wie ich das nachprüfen soll.
Ich würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiter helfen kann :-)
Vielen DANK!

20.10.2011, 20:03

pseudo-nym

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Was sind denn $\begin{eqnarray*} \omega_s, \omega_t \end{eqnarray*}$ ?

Desweiteren wäre es wohl wichtig zu wissen welche Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{W} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

20.10.2011, 23:16

Klijua

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Hallo,

also ich versteh das so, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Funktion aus dem Wiener Raum ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{W}_T \end{eqnarray*}$ ) ist und $\begin{eqnarray*} \omega_t, \omega_s \end{eqnarray*}$ sind dann die Funktionen ausgewertet in s bzw. t, wobei s und t Zeitpunkte sind.

Das ganze soll gelten bzgl der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz (uniform topology). Ich kann mir darunter aber nicht so viel vorstellen... unglücklich

20.10.2011, 23:28

pseudo-nym

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Weißt du wie eine Topologie und eine Metrik zusammenhängen?
Weißt du du von welcher Metrik die gegebene Topologie induziert wird?

21.10.2011, 10:57

Klijua

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Ich weiß wie eine Metrik definiert wird und, dass ein metrischer Raum auch ein topologischer Raum ist, aber ein topologischer Raum nicht unbedingt ein metrischer Raum. Sehr viel Ahnung hab ich allerdings nicht von topologischen Räumen.
Welche Metrik die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz induziert weiß ich leider nicht. Ich hab versucht es nachzulesen und bin auf die Supremumsmetrik gestoßen. Ich weiß aber nicht ob das stimmt und habs auch nicht so recht verstanden.

21.10.2011, 11:01

pseudo-nym

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Doch das stimmt schon. Die von der Supremumsnorm induzierte metrik induziert wiederrum deine Topologie. Mit dieser Information kannst du jetzt die Beträge in
$\begin{eqnarray*} |S_t\left(\omega \right) - S_t \left(\omega' \right)| \leq C |\omega - \omega'| \end{eqnarray*}$
entschlüsseln.

21.10.2011, 11:25

Klijua

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Heißt das ich hab da sowas stehn wie:
$\begin{eqnarray*} \sup_{t\in \left[0,T\right]} | S_t\left( \omega\right) - S_t\left( \omega' \right) | = \sup_{t\in \left[0,T\right]} | \sup_{s\in \left[t,T\right]} | \omega_s - \omega_t| - \sup_{s\in \left[t,T\right]} | \omega_s' - \omega_t'| | \end{eqnarray*}$
und das soll dann kleiner gleich einer zu findenden Konstanten mal
$\begin{eqnarray*} \sup_{t\in \left[0,T\right]} |\omega_t - \omega_t'| \end{eqnarray*}$
sein? Und ich müsste mir dann überlegen wie diese Konstante aussehen soll oder?

21.10.2011, 12:04

pseudo-nym

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Nein, da du Lipschitz-Stetigkeit zwischen Räumen auf denen nicht die Standardmetrik definiert ist betrachstest würde ich die Lipschitzbedingung so formulieren:
$\begin{eqnarray*} \Vert S_t\left(\omega \right) - S_t \left(\omega' \right) \Vert_\infty \leq C \Vert \omega - \omega' \Vert_\infty \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_\infty \end{eqnarray*}$ die Supremumsnorm darstellt, bzgl. welcher Definitions- und Wertebereich einen normierten und dadurch auch einen metrischen Raum bilden.

Nun ist z.B. $\begin{eqnarray*} (\omega - \omega')_x \end{eqnarray*}$ eine Funktion die von der Variable x abhängt. Es gilt also
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} \Vert (\omega - \omega')_x \Vert_\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Wenn du dir den Wikipediaartikel zur Supremumsnorm ansiehst kannst du sehen, dass diese Norm von der Norm des Zielraums abhängt. Wenn diese nicht explizit abgegeben ist verwendet man auf den reellen Zahlen meist die Standardnorm, also haben wir
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} | (\omega - \omega')_x| \end{eqnarray*}$

21.10.2011, 12:40

Klijua

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Entschuldige, aber leider versteh ichs immernoch nicht unglücklich

Du schreibst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} | (\omega_t - \omega_t')(x) | \end{eqnarray*}$

Aber was soll denn $\begin{eqnarray*} \omega_t\left(x\right) \end{eqnarray*}$ sein? Ist das nicht dann eher $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} | (\omega_x - \omega_x') | \end{eqnarray*}$ ?
Mir ist klar, dass das Supremum existiert und nicht unendlich werden kann. Aber trotzdem sind bei mir noch viele Fragezeichen...

Die Zielmenge der Funktion S ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{W}_T \end{eqnarray*}$ , also hängt die Norm dann von dem Raum ab? Oder nimmt man auch da die Standardnorm? Würde man dann das Supremum über die $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ bilden? Kann ja irgendwie auch nicht sein. Aber die Abbildung S hat ja als Funktionsargument quasi wieder eine Funktion und nicht die Zeit so wie ich das sehe. Also könnte man nicht $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\left[0,T\right]} \end{eqnarray*}$ bilden. :-o
traurig

Sorry dass ich so schwer von Begriff bin, aber ich würde es wirklich gerne verstehen.

21.10.2011, 13:10

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Klijua
Aber was soll denn $\begin{eqnarray*} \omega_t\left(x\right) \end{eqnarray*}$ sein? Ist das nicht dann eher $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} | (\omega_x - \omega_x') | \end{eqnarray*}$ ?

Doch das stimmt schon. Ich habe nur einen Fehler beim Kopieren gemacht, den ich jetzt ausgebessert habe.

24.10.2011, 17:36

Klijua

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Tut mir leid, ich verstehs immernoch nicht. Ich hab ja eine Funktion die vom Wienerraum wieder in den Wienerraum geht und nicht direkt in den Raum der Rellen Zahlen. Warum soll ich also das Supremum bzgl. der Zeitpunkte bilden?

So wie ich dich verstanden hab müsste dann folgendes gelten
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in \left[0,T\right]} |\left( S_x\left(\omega \right) - S_x \left(\omega' \right) \right)| = \sup_{x\in \left[0,T\right]} | \left( \sup_{s\in \left[x,T\right]} |\omega_s - \omega_x| - \sup_{s\in \left[x,T\right]} |\omega_s' - \omega_x'| \right) | \leq C \sup_{x\in \left[0,T\right]} |\left( \omega_x - \omega'_x \right)| \end{eqnarray*}$
Stimmt das denn? Ich verstehe dann aber noch nicht warum die Ungleichheit gelten sollte. Ich habe gelesen, dass die Konstante angeblich Eins sein soll. Ich kann mir das aber leider nicht erklären...

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