Hurwitzkriterium

03.01.2007, 16:13	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
Hurwitzkriterium ich bin gerade ein bisschen verwirrt: in meinem regelungstechnikbuch ist für das hurwitzkriterium folgende matrix angegeben: (n ist in meinem fall 3) $\begin{eqnarray} H=\begin{pmatrix} a_1 & a_3 & 0\\ a_0 & a_2 & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei wikipedia finde ich folgende darstellung: http://de.wikipedia.org/wiki/Hurwitzpolynom also konkret: $\begin{eqnarray} H=\begin{pmatrix} a_2 & a_0 & 0 \\ a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & a_2 & a_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist es egal, welche darstellung ich wähle? in meinem beispiel kommt für beide das gleiche raus, aber ist das auch immer so? die determinante H2 ist ja in beiden fällen gleich, aber H1 und H3 unterscheiden sich ja schon voneinander....!?
03.01.2007, 16:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wikipedia betrachtet das Hurwitzpolynom $\begin{eqnarray} N_1(s) = a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 \end{eqnarray}$ während die Matrix in deinem Elektronikbuch offenbar zum Polynom $\begin{eqnarray} N_2(s) = a_0s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3 \end{eqnarray}$ gehört. Wegen $\begin{eqnarray} N_1(s) = s^3\cdot N_2\left( \frac{1}{s} \right) \end{eqnarray}$ ist für jede von Null verschiedene Nullstelle $\begin{eqnarray} s^ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} N_1 \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} \frac{1}{s^} \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} N_2 \end{eqnarray}$ . Da nun aber $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}(s^) < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Re}\left( \frac{1}{s^} \right) < 0 \end{eqnarray}$ gilt (nachrechnen!), kann man tatsächlich deine Frage so beantworten: Ja, es ist egal. EDIT: Ähm, wie komme ich auf Elektronik - vermutlich irgendwelche Freudschen Verbindungen... Ich meine Regelungstechnik.
03.01.2007, 16:44	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine antwort arthur, aber mein buch betrachtet auch das polynom $\begin{eqnarray} N_1(s) \end{eqnarray}$ ! -> trotzdem: "Ja, es ist egal." ??
03.01.2007, 16:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab von dem Thema nicht wirklich Ahnung, aber die andere Matrix gehört im Wikipediasinne zu $\begin{eqnarray} N_2 \end{eqnarray}$ , mehr kann ich dazu nicht sagen.

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