Irrationalität beweisen |
20.10.2011, 17:26 | WernerHeisenberg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Irrationalität beweisen Zeigen Sie, falls x irrational ist und a, b, c, d rationale Zahlen mit a*d ungleich b*c sind, so ist ebenfalls irrational. Ich habe durch Umformung, lediglich herausgefunden, dass Die linke Seite ist laut Definition irrational, d.h. der Bruch rechts muss irrational sein. Aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass z irrational sein muss, da a/b/c/d rational sind und sonst keine Irrationalität "entstehen" könnte, oder!? |
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20.10.2011, 17:31 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst einen Beweis durch Widerspruch starten: Nimm an, wäre rational. Dann ist das Produkt zweier rationaler Zahlen ... |
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20.10.2011, 17:54 | WernerHeisenberg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, dann wäre aber ich weiß nicht, wie mir das weiterhelfen soll... |
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21.10.2011, 01:24 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh, nein, das meine ich nicht. Ich wollte eigentlich auf folgendes hinweisen: Wir sind ja hier: Annahme, die wir zum Widerspruch führen wollen: rational und rational. Dann gilt wegen der Abgeschlossenheit in : . So gehst du dann sukzessive vor... |
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21.10.2011, 19:25 | WernerHeisenberg | Auf diesen Beitrag antworten » |
Achso, verstehe. Dasselbe gilt dann selbstverständlich auch für und sind laut Vorraussetzung rational. Somit muss der Bruch selbst auch rational sein, was der Grundvorraussetzung, der Irrationalität von widerspricht. Hab ich etwas übersehen oder ist der Beweis dadurch bereits abgeschlossen? |
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21.10.2011, 20:57 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist es, ja. Man müsste das natürlich jetzt ganz genau schrittweise erläutern, wie man zeigt, dass die rechte Seite der Gleichung rational ist. Die Idee ist es nun mal eben, alles abzuklappern, bis man den ganzen Bruch als rational bezeichnen kann. Den Fachbegriff, den du hier verwenden solltest, habe ich auch schon genannt: Man nutzt die Abgeschlossenheit von aus. |
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