Erzeugnis von Matrizen

20.10.2011, 18:45

trashing88

Erzeugnis von Matrizen

Es sei P die von den Matrizen
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, C= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erzeugte Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL_{2}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass P eine nichtabelsche Gruppe mit 16 Elementen ist.

Mein Problem: Wie berechnet man denn das Erzeugnis dieser 3 Matrizen? Gruppenaxiome nachweisen ist ja nicht so schwierig. Aber wie zeige ich dann noch genau, dass es nur 16 Elemente sein können?

20.10.2011, 19:02

galoisseinbruder

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Ich sehe keinen kürzeren Weg als sich durch die sämtlichen Produkte der 3 Matrizen zu wühlen. Es aber nicht so schlimm, da die Matrizen alle Ordnung 2 haben., und die Produkte skalare Vielfache der anderen Matrizen sind.

20.10.2011, 19:05

trashing88

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Das mit den Produkten hab ich auch schon probiert. Also es gibt ja

AB, AC, BA, BC, CA und CB. Dann sicher noch AA, BB, CC und die Matrizen A, B und C selbst. Da komme ich auf 12 Elemente. Welche fehlen denn noch?
Weil alle dreifach Produkte aus Matrizen also z.b. ABC ist ja letztendlich (AB)*C und kann aus denen erzeugt werden.

Welche vergess ich da noch?

20.10.2011, 19:06

ollie3

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hallo trashing,
ja, und am einfachsten ist die eigenschaft "nichtabelsch" nachzuweisen, es
genügt ein gegenbeispiel, habe sofort gesehen, dass hier AB ungleich BA ist.
gruss ollie3

20.10.2011, 19:09

trashing88

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Zitat:

Original von ollie3
hallo trashing,
ja, und am einfachsten ist die eigenschaft "nichtabelsch" nachzuweisen, es
genügt ein gegenbeispiel, habe sofort gesehen, dass hier AB ungleich BA ist.
gruss ollie3

ja also nicht abelsch hab ich auch schon und assoziativ ist das ja trivialerweise auch, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. (ist übrigens auch mein Gegenbeispiel AB ungleich BA)

20.10.2011, 19:12

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} A^2=B^2=C^2=E \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht verrechnet hab.
ABC ist eine neue Matrix, meiner Rechnung nach iE.
Genauso fehlen z.B. noch ABA, ACA,BAB, usw; (AB)²,(AB)(AC) usw.
Die erzeugte Gruppe ist jedes beliebige Produkt aus A,B,C egal wie lang.
Mein Tipp nochmal schreib die entstehenden Matrizen (soweit möglich) als skalare Vielfache von A,B,C und der Einheitsmatrix. dann rechnet es sich besser.

20.10.2011, 19:17

trashing88

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Aber wenn man wirklich sowas wie "ABA" und "BAB" oder "CBABCA" noch dazuzählt werden es doch deutlich mehr als 16 Elemente?

Ist nicht "ABA" eine Verknüpfung aus (AB)*A und wird somit durch das Element AB und A erzeugt?

20.10.2011, 19:24

galoisseinbruder

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Ich fürchte Du hast noch ein grundsätzliches Problem.
Du willst die von A,B und C erzeugte Untergruppe bestimmen, sprich alle Elemente angeben.
Diese Gruppe erhält nach Definition alle möglichen Produkte aus A, B und C. (sonst wäre sie ja nicht abgeschlossen). Es ist nur so, dass viele dieser Produkte mit anderen übereinstimmen, deswegen gibts am Schluß nur 16 verschiedene matrizen die so gebastelt werden können. Deswegen ist es auch wichtig die Produkte konkret zu berechnen um zu sehen welche gleich sind.

20.10.2011, 19:28

ollie3

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hallo trashing,
nein, das ist ein denkfehler, bei mehrfacher matrizenmultiplikation hintereinander werden sich die matritzen irgendwann wiederholen.
gruss ollie3

20.10.2011, 19:35

trashing88

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Ich glaube ich weiß was du meinst. Ich habe gerade gezeigt, dass bei der Multiplikation von A,B und C nur Diagonalmatrizen rauskommen. Die Einträge der Matrizen enthalten ja nur

$\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm i \end{eqnarray*}$

Also können ja nur Matrizen entstehen, die maximal 2 Einträge besitzen. Wobei jeder Eintrag entweder $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm i \end{eqnarray*}$ ist. Also wenn ich richtig liege 2*(4+4)=16 ??

20.10.2011, 19:39

galoisseinbruder

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Ja das ist eine sehr schöne Erkenntnis. Du musst jetzt allerdings noch zeigen, dass alle 16 Möglichkeiten auch wirklich in der Gruppe sind.

20.10.2011, 19:42

trashing88

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Also müsste man noch zeigen, dass man wirklich jede Matrix, die möglich ist auch durch A,B,C erzeugt werden kann. Okay das hilft mir auf jeden Fall schonmal weiter. Danke für die Hilfe!

20.10.2011, 21:06

Leopold

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Diese Argumentation scheint mir nicht zu stimmen, denn $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ ist keine Diagonalmatrix.

Für $\begin{eqnarray*} X,Y \in \{ A,B,C \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X \neq Y \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} XY = -YX \end{eqnarray*}$ , wie man sofort nachrechnet.
Vertauscht man in $\begin{eqnarray*} ABAB \end{eqnarray*}$ die zwei inneren Glieder, so folgt $\begin{eqnarray*} ABAB = -A^2 B^2 = -E \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} -E \end{eqnarray*}$ zur Gruppe gehört, gehört mit jeder Matrix auch ihr Negatives zur Gruppe.

Man kann nachrechnen, daß die Matrizen der Menge

$\begin{eqnarray*} \{ \pm E, \pm A, \pm B, \pm C, \pm AB, \pm AC, \pm BC, \pm ABC \} \end{eqnarray*}$

paarweise verschieden sind. Multipliziert man zwei dieser 16 Matrizen miteinander, so erhält man aufgrund der Vorzeichengesetze, der obigen Regel bezüglich des Vertauschens zweier Erzeuger und der Tatsache, daß $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ jeweils die Ordnung 2 haben, die Abgeschlossenheit der Menge bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} P = -AC, \ Q = -ABC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} PQ = (-AC)(-ABC) = ACABC = -A^2CBC = -CBC = C^2 B = B \end{eqnarray*}$

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