Betrag einer Zahl

21.10.2011, 11:23

Dasiggo

Betrag einer Zahl

Hallo,

ich habe eine kleine Verständnisfrage.

Ist der Betrag einer Zahl immer größer gleich Null?

Also für x>0 x=|x| und für x<0 ist -x=|x| ?

Wenn ich also eine Funktion habe:

Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-|x|}{x} \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-x}{x} \end{eqnarray*}$ für x>0 und x<0 ?
So habe ich das immer gesehen, dass der Betrag von x immer das x ohne Vorzeichen ist, und mit diesem vorzeichenlosen x wird gerechnet, wie mit einer normalen Zahl.

Ich bin auf eine Aufgabe gestoßen, in der :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-(x)}{x} \end{eqnarray*}$ für x>0 und $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-(-x)}{x} \end{eqnarray*}$ für x<0 gilt, ausgehen von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-|x|}{x} \end{eqnarray*}$ .

Wie ist es nun?

Gruß

ich

21.10.2011, 11:39

klarsoweit

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RE: Betrag einer Zahl

Zitat:

Original von Dasiggo
Ist der Betrag einer Zahl immer größer gleich Null?

Also für x>0 x=|x| und für x<0 ist -x=|x| ?

Genau genommen ist |x| = x für x >= 0, sonst aber richtig.

Zitat:

Original von Dasiggo
Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-|x|}{x} \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-x}{x} \end{eqnarray*}$ für x>0 und x<0 ?

Hier nimmst du |x| = x. Das kann ja nicht sein, wenn du das vorherige nochmal anschaust.

21.10.2011, 11:41

Pascal95

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RE: Betrag einer Zahl
Hallo.

Zitat:

Original von Dasiggo
Ist der Betrag einer Zahl immer größer gleich Null?
Also für x>0 x=|x| und für x<0 ist -x=|x| ?

Ja,
der Betrag ist eigentlich genau so definiert, wie du es oben geschrieben hast.
In eine der Bedingungen kannst du ja noch die Null einbauen.
Zum Beispiel so:
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> |x| := \begin{cases} +x, & \text{wenn }x\geq 0 { ,}\\ -x, & \text{wenn }x< 0\end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel ist die zweite Deutung richtig !
(die erste falsch!)

Man kann aber noch viel mehr vereinfachen.

Grundsätzlich musst du eine Fallunterscheidung machen (also: ....., wenn x>0, aber ....., sonst).

Du hast hier ja (in der ersten Vermutung) einfach $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ersetzt.

Aber wann geht das nur ?

21.10.2011, 13:23

Dasiggo

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@Pascal95: Wenn x>=0 ist !

Richtig?

Wenn ich mir das so überlege: Steht der Betrag dann für x>=0 und für x<0, also quasi als Platzhalten für diese zwei möglichen Werte?

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{x-(-x)}{x}=\frac{x-|x|}{x}=\frac{x-x}{x} \end{eqnarray*}$

So richtig?

21.10.2011, 14:44

klarsoweit

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Nein, das ist nicht richtig.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{x-(-x)}{x}=\frac{x-|x|}{x} \end{eqnarray*}$ , wenn x < 0 ist, und $\begin{eqnarray*} \frac{x-|x|}{x}=\frac{x-x}{x} \end{eqnarray*}$ , wenn x >= 0 ist.

21.10.2011, 15:34

Dasiggo

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Der Betrag ist also ein entweder oder.

Entweder ist es -x oder es ist x, es kann nicht beides gleichzeitig sein, wenn ich das richtig verstehe.

Nur dann verstehe ich nicht warum der Betrag überhaupt definiert wurde, wenn man einfach -x oder x in die Funktion schreiben kann, bzw. mit -x oder x vergleichen kann.
Wenn es kein Gedanklicher Platzhalter für -x oder x ist, ergibt der Betrag für mich im Moment keinen Sinn.

21.10.2011, 17:15

Pascal95

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Zitat:

Original von Dasiggo
Entweder ist es -x oder es ist x, es kann nicht beides gleichzeitig sein, wenn ich das richtig verstehe.

Es gibt einen Sonderfall, in dem tatsächlich $\begin{eqnarray*} x=-x \end{eqnarray*}$ gilt Augenzwinkern

Leider verstehe ich deine weiteren Ausführungen zum Betrag nicht.

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