Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen |
| 21.10.2011, 14:57 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen Hallo Leute. Ich habe ein recht großes Verständinsproblem. Dabei geht es um 2-3 Übungen auf einem Übungsblatt. Aufgabenstellung: Ihnen stehen 20m2 Zaun zur Verfügung. 1. Sie sollen damit ein möglichst groÿes rechteckiges Grundstück (mit Seitenlängen a und b) von allen vier Seiten einzäunen. (a) Formulierung Sie das Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen. (b) Bestimmen Sie die optimalen Seitenlängen des Rechtecks. (c) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem die Menge aller Paare (a; b), die die Nebenbedingung erfüllen. (d) Zeichnen Sie in das selbe Koordinatensystem die Menge aller Paare (a; b), die eine Fläche derselben Gröÿe einschlieÿen. Was ist und wie berechne ich das Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen ?? Und ein paar Ansätze zu den weiteren Fragen wären hilfreich. Meine Ideen: Ich weiß, dass man dies mit der Lagrange Methode lösen kann. Jedoch weiß ich einfach nicht wie man sie in diesem Beispiel anwenden sollte. |
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| 21.10.2011, 16:35 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Maximierungsproblem mit Nebenbedingungen
Sind damit vielleicht 20 Meter gemeint? In Quadratmetern werden Flächen etc. angegeben aber keine Längen. Angenommen, es sind 20 Meter gemeint:
Wie sind denn die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang eines Rechteckes? Der Umfang beträgt zudem 20 Meter. Die Fläche willst du maximieren, sie ist also deine Zielfunktion. Wie lauten also Ziel- und Nebenbedingung?
Sind dann einfach die einfach die grafischen Umsetzungen der Ziel- und Nebenfunktion.
Ist natürlich möglich, du wirst aber merken, dass du eine der Funktionen einfach nach einer Variable explizit auflösen und in die Zielfunktion einsetzen kannst. Dann ist es eine eindimensionale Extremwertaufgabe. |
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| 21.10.2011, 17:28 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also geschrieben ist Quadratmeter. Ich gehe aber auch davon aus, dass es sich um einen Schreibfehler handelt. Also Flächeninhalt wäre a*b. Umfang 2a +2b Wäre meine Zielfunktion f(a,b) = a*b ? Und meine Nebenbedingung einfach, dass ich nur 20 m Zaun zur Verfügung habe? Mein Problem ist, dass ich noch nie zuvor auch nur ein Beispiel solcher Aufgaben gesehen habe, und dabei ist diese noch die einfachste auf dem Blatt. Von 3. |
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| 21.10.2011, 17:39 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay Nebenbedingungen könnten aber auch sein, dass a und b einfach größer als 0 sind- |
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| 21.10.2011, 17:59 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau.
Richtig. Du hast also deine Zielfunktion und deine Nebenfunktion . F steht für Flächeninhalt und U für Umfang. Verstehst du, wie man auf U kommt? Denn das ist wichtig, da es eigentlich genau der Clou an einer solchen Aufgabe mit Nebenbedingung ist.
Wenn du noch nie was davon gehört hast, kann ich verstehen, dass du damit noch Probleme hast, das dauert einfach bisschen und am besten ist immer üben. Kann das aus eigener Erfahrung sagen. Das bestätigt aber auch, dass ihr wohl kaum die Lagrange-Methode verwenden sollt oder habt ihr mit der auch schon Aufgaben gelöst? Naja und wenn du jetzt die Funktionen anschaust und dir klar machst, dass du F maximieren sollst unter der Bedingung U, wie gehst du dann vor? |
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| 21.10.2011, 19:51 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ich nehmen an U(a,b) erreiche ich dadurch, dass ich 2a+2b = 20 setze. Da ich ja das Maximum errechnen möchte, muss ich also bei der Funktion 2a+2b -20 genau auf 0 kommen. Nun muss ich nur noch das max F(a,b) der möglichen a und b aus U errechnen. Maxima errechne ich durch die erste Ableitung. Hier wahrscheinlich durch partielle. Aber irgendwie kann das nicht ganz stimmen. Habe heute irgendwie eine Denkblockade. In der Vorlesung/Übung wurden nichtmal die Art dieser Aufgaben auch nur angesprochen. Lagrange auch nicht. Diese Aufgaben wurden uns einfach aufgeteilt und (nehme ich mal stark an) werden nächste Woche in der Übung besprochen. Nur bei meinen Internetrecherchen zu Optimierungsproblemen mit Nebenfunktion war das die meistgefundene Antwort. Aber durch deine Hilfe fühle ich mich immer ein Stück schlauer, danke. |
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| 21.10.2011, 20:31 | wdposchmann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau.
Nein. Genau hier kommt nämlich der Unterschied zwischen Ziel- und Nebenfunktion ins Spiel. Es gilt immer: Zu maximieren bzw. minimieren ist die Zielfunktion. Die Nebenbedingung darf bzw. muss dafür benutzt werden, um die Zielfunktion zu vereinfachen, mehr aber auch nicht. Hier sieht es also folgendermaßen aus: Erst mal weisst du nur, dass du maximieren musst. Stell dir mal vor, dass ist alles was du weisst. Dann wäre deine Antwort ja, dass diese Funktion kein Maximum hat (insofern man sie auf einem offenen Intervall betrachtet wird aber das ist hier nebensächlich), denn wenn du immer größere a und b einsetzt, so wird auch a*b immer größer. Da du jetzt aber eine Einschränkung gegeben hast, nämlich , sind nicht mehr alle a und b zugelassen und genau das ist der Sinn der Nebenbedingung. Nimm z.B. a=10 und b=20. Dann wäre . Erfüllen diese a und b die Nebenbedingung? Antwort: Nein, denn . Es müsste aber gelten! Das wäre jetzt vielleicht nicht so ausführlich nötig gewesen aber vielleicht hilft dir dieser "logische Denkvorgang" ja dabei, auch ein bisschen zu verstehen, was sich unter der Extremwertsuche unter einer Nebenbedingung so verbirgt. Konkret kannst du jetzt einfach nach a oder b umstellen und dann in einsetzen. Dann ist Deine Zielfunktion nur noch von einer Variablen abhängig und DANN kannst du die Zielfunktion gleich Null setzen und das gewohnte Prozedere durchziehen :-)
Wie gesagt, deswegen ist so eine Aufgabe wir hier auch das Paradebeispiel dafür, die Nebenbedingung einfach nach einer Variablen umzustellen. |
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| 21.10.2011, 21:30 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay, sobald ich daheim bin werde ich es versuchen zu lösen. Aber es ist schon ein wenig peinlich im Moment, da das Ganze ja gar nicht so schwer sein zu scheint. Ich werde sofort antworten sobald ich es gelöst habe. Bin wohl erst am Sonntag wieder daheim. Aber ich danke dir wirklich 
Hat mir sehr geholfen. |
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| 23.10.2011, 21:22 | Jessica 23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So =) Hab jetzt alle Aufgaben auf dem Blatt lösen können =) War noch eine Aufgabe, wie diese, nur ein wenig abgeändert und dann das gleiche mit einem Quader. Tausend dank, dass du mir geholfen hast 
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