ggT |
| 21.10.2011, 15:58 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ggT Ich habe f = 4x^3+29x^2+46x und g = x^3+7x^2+11x gegeben. Ich soll nun den ggT herausfinden. Ist es hierzu ok, wenn ich den Gauss-Algorithmus auf ggT(4,29,46) und ggT(1,7,11) anwende? Hierbei resultiert 1. Das eigentliche Ergennis muss dann x sein - wieso kann man von meinem Ergebnis auf x schliessen? (oder ist mein Ansatz völlig falsch?) Gruss, Leo |
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| 21.10.2011, 16:17 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ansatz ist völlig falsch. Den ggT zweier Polynome berechnet man wie den ggT zweier ganzer Zahlen meist am geschicktesten mit dem euklidischen Algorithmus. Dazu solltest du am besten auch nochmal Dein Skript konsultieren, vermutlich steht´s bei euklidische Ringe. Am Rande: Wo leben eigentlich f und g. Das ist hier nicht ganz unwesentlich. |
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| 21.10.2011, 16:31 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In Q[x]. Danke für den Tipp - werde nachforschen. |
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| 21.10.2011, 16:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kommt hier auch ganz gut ohne euklidischen Algorithmus und die damit verbundene Polynomdivision zurecht. Es ist , Nun sind die Zahlen -1, 1, -11, 11 keine Nullstellen von g, also wurde g schon in irreduzible Faktoren zerlegt. Damit hat g insgesamt sogar nur 4 Teiler und einer von denen ist der ggT von f und g. Welcher das ist, sieht man schnell. |
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| 21.10.2011, 17:12 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, habs mittlerweile trotzdem per Euklid.-Algo. gemacht. War eigentlich auch kein Problem. Eine Frage habe ich noch hierzu: Sei K:= Z/3Z (d.h. ein Körper von 3 Elementen.) Ich muss nun ein Inverse von X^4+2X+1+<X^3+2> finden in K[X]/(X^3+2) Allerdings fehlt mir da der Ansatz.. |
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| 21.10.2011, 17:18 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weißt Du wie man z.B. das (multiplikative) Inverse von 3 in berechnet? |
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| 22.10.2011, 00:11 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre -122, oder? ..ebenfalls (wieder) mit dem (erweiterten) Euklid. Algo. Trotzdem sehe ich aber (noch) nicht, wie ich damit die Aufgabe lösen kann... |
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| 22.10.2011, 00:22 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das multiplikative Inverse zu 3 ist die Zahl x mit . Geschrieben hab ich´s weil das dasselbe Verfahren das bei dieser Aufgabe hilft, der erweiterte euklidische Algorithmus, auch hier Verwendung findet. |
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| 22.10.2011, 00:42 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also noch 2 Fragen: Dann wäre eine Lösung zB 42, oder? ..und was mach ich mit <X^3+2>? (..bzw. was sollen die Klammern?) |
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| 22.10.2011, 09:52 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo leo (du chaot), kenn dich noch vom letzten mal, helfe dir gern weiter. Also das mit der 42 als inverses element stimmt jetzt. 
Und bei der der zweiten frage, mit <x^3 +2 > sind wieder die ganzzahligen vielfachen von x^3+2 gemeint (oder das ideal, was man damit erzeugen kann), und weil wir ja in dem ring K[X] /(x^3 +2) sind, ändert sich die restklasse nicht, wenn man das dazuaddiert, dass heisst man kann auch diese aufgabe mit einer einfachen polynom- division lösen, da kommt was tolles raus, so dass man das inverse element sofort ablesen kann. Dann viel spass. gruss ollie 3 |
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| 22.10.2011, 14:33 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hehe..danke euch beiden! Wenn ich mich nicht vertan habe, müsste das Inverse schlussendlich 1 sein - correct? 
Noch eine letzte (theoretische) Frage zum Euklid. Algo.: Wie kann man Polynome aus Q[X] konstruieren, sodass der Euklid. Algo. genau n Schritte benötigt um den grössten gemeinsamen Teiler zu finden? Erst dachte ich, dass man einfach die Fibonacci Zahlen nehmen könnte - aber das sind Einheiten in Q[X]. |
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| 22.10.2011, 14:39 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da hast du Dich massiv vertan. Das würde nämlich heißen dass das zu Invertierende 1 ist. Ich fürchte Du verstehst den euklidischen Algorithmus für diesen Fall nicht. Wenn Du Deine Rechnung postest könnte ich mehr dazu sagen. |
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| 22.10.2011, 15:05 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, ich habs so gemacht: (x^4+2x+1) = x(x^3+2) + 1 (x^3+2) = (x^3+2)*1 + 0 --> Inverse ist 1, weil: 1*x=1 mod 3 --> x=1. |
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| 22.10.2011, 15:17 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh das hatte ich übersehen: . Und damit ist natürlich 1 das Inverse. Sicher, dass die AUfgabe so gestellt wurde? |
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| 22.10.2011, 15:28 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guut, dankeschön
Jeps, sie entspricht der Aufgabenstellung. |
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