empirische Wahrscheinlichkeitsmaß

21.10.2011, 16:26

Alexandro

empirische Wahrscheinlichkeitsmaß

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} x_{1},...,x_{n} \in Omega \end{eqnarray*}$ (nicht notwendig verschiedene) Beobachtungen in einem Grundraum Omega. Zeigen sie, dass durch die relativen häufigkeiten

$\begin{eqnarray*} R_{n}(A):=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n 1_{A} (x_{i}) \end{eqnarray*}$ , (wobei A Teilmenge von Omega)
ein Wahrscheinlichkeitsmaß Rn auf (Omega,2^Omega) definiert wird,das sog. empirirsche Wahrscheinlichkeitsmaß.

Meine Ideen:
die $\begin{eqnarray*} x_{1},...,x_{n} \in Omega \end{eqnarray*}$ sind alle möglichen ergebnisse, die auftreten können.
ein wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Abbildung ,in dem ein ereignis auf eine reelle zahl zwischen 0 und 1 abgebildet wird.
relative häufigkeit ist auch klar.
nur mir fehlt der 1. ansatz

ich bitte um hilfe

21.10.2011, 16:35

Math1986

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RE: empirische Wahrscheinlichkeitsmaß

Zitat:

Original von Alexandro
ein wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Abbildung ,in dem ein ereignis auf eine reelle zahl zwischen 0 und 1 abgebildet wird.

Hast du das denn schonmal nachgeprüft?
Das lässt sich ja einfach zeigen.
Außerdem hat ein Wahrscheinlichkeitsmaß noch andere Eigenschaften, die du ebenfalls nachprüfen musst.

21.10.2011, 16:41

Alexandro

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weiter muss ich prüfen

2.)P(Omega)=1
3.)sigma-additivität

ich muss prüfen ob,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i}) \end{eqnarray*}$

zwischen 0 und 1 liegt

und bei 2.) muss ich es gleich 1 setzen

?

21.10.2011, 16:51

Math1986

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Zitat:

Original von Alexandro

ich muss prüfen ob,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i}) \end{eqnarray*}$

zwischen 0 und 1 liegt

Zitat:

Original von Alexandro
und bei 2.) muss ich es gleich 1 setzen

Nein, du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} R_n(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$ gilt
3) musst du auch noch zeigen.

21.10.2011, 16:56

Alexandro

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$\begin{eqnarray*} Rn_{A}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i})=\frac{1}{n}x_{1}+...+\frac{1}{n}x_{n} \in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht sicher, ob es der richtige weg für 1.) ist

21.10.2011, 16:58

Math1986

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Zitat:

Original von Alexandro
$\begin{eqnarray*} Rn_{A}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i})=\frac{1}{n}x_{1}+...+\frac{1}{n}x_{n} \in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht sicher, ob es der richtige weg für 1.) ist

Nein, ist es nicht unglücklich

Wie ist $\begin{eqnarray*} 1_A(x_i) \end{eqnarray*}$ denn definiert?
Du rechnest statt mit $\begin{eqnarray*} 1_A(x_i) \end{eqnarray*}$ einfach mit $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ weiter, so geht das doch nicht!

21.10.2011, 17:00

Alexandro

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ich kann es dir nicht sagen
hab nichts in meinen unterlagen oder im i-net gefunden

21.10.2011, 17:07

Math1986

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Zitat:

Original von Alexandro
ich kann es dir nicht sagen
hab nichts in meinen unterlagen oder im i-net gefunden

Und wiso sagst du nicht gleich dass dir das unklar ist?
Du redest davon, dass dir der erste Ansatz fehlt, wiso stellst du dann nicht mal konkrete Fragen?
Das bezeichnet die Indikatorfunktion, es ist:
$\begin{eqnarray*} 1_A(x)=\begin{cases}1& x\in A\\0&x\notin A\end{cases} \end{eqnarray*}$

So, und nun weiter

21.10.2011, 17:15

Alexandro

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i} )= \frac{1}{n}(1_{A}(x_{1})+,...,+1_{A}(x_{n}) ) \end{eqnarray*}$

es gibt einige $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ , die in A liegen, da A eine teilmenge von omega ist, bei den restlichen x erhält man eine null

21.10.2011, 17:17

Math1986

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Zitat:

Original von Alexandro
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n 1_{A}(x_{i} )= \frac{1}{n}(1_{A}(x_{1})+,...,+1_{A}(x_{n}) ) \end{eqnarray*}$

es gibt einige $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ , die in A liegen, da A eine teilmenge von omega ist, bei den restlichen x erhält man eine null

Ja, und weiter?
Du musst die Axiome von oben zeigen!

21.10.2011, 17:20

Alexandro

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Rn liegt offentsichtlich zwischen 0 und 1, da durch das 1/n nicht größer als 1 sein kann und da $\begin{eqnarray*} 1_{A}(x) \end{eqnarray*}$ entweder 0 oder 1 sein kann, kann es nur zwischen 0 und 1 liegen

21.10.2011, 17:21

Math1986

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Zitat:

Original von Alexandro
Rn liegt offentsichtlich zwischen 0 und 1, da durch das 1/n nicht größer als 1 sein kann und da $\begin{eqnarray*} 1_{A}(x) \end{eqnarray*}$ entweder 0 oder 1 sein kann, kann es nur zwischen 0 und 1 liegen

Ja, und weiter?
Du musst die Axiome von oben zeigen, lass dir doch nicht jeden einzelnen Schritt aus der Nase ziehen!

21.10.2011, 17:25

Alexandro

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der 1. schritt ist bewiesen oder?

bei 2.) $\begin{eqnarray*} R_{n}(Omega)=1/n 1+,...,+1/n 1 \end{eqnarray*}$

es ist dabei n=1 also Rn(Omega)=1

bei 3.) hab ich keine ahnung

21.10.2011, 17:26

Alexandro

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die 1 soll nicht im nenner sein

21.10.2011, 17:57

Zündholz

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Hallo,
Also Schritt 1 würde ich persöhnlich nicht als bewiesen anerkennen, da du ja eigentlich nur die Summe ausgeschrieben hast. Warum ist jetzt dieser ausdruck nicht negativ?

Bei deinem zweiten Argument verstehe ich nicht was du mit n=1 meinst. Du musst ja zeigen dass das für alle n gilt.
Aber ich vermute das du das richtige meinst. Fehlt nur noch ein kleiner Satz dazu Augenzwinkern

Zu (3) wie ist denn sigma Additivität definiert? Das musst du einfach mal hernehmen und dir dann überlegen wie man (mal als Beispiel) $\begin{eqnarray*} 1_{A\cup B} \end{eqnarray*}$ auch anders schreiben kann, wenn A und B disjunkt sind.

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