Doppelintegral - Ellipse

21.10.2011, 19:34

ChronoTrigger

Doppelintegral - Ellipse

Hallo,

ich möchte folgendes Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \int_K xydxdy \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} K:=\{(x,y) \in \mathbb R^2 | \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} < 1,x>0,y>0 \}, a,b >0 \end{eqnarray*}$

K beschreibt hierbei ja hierbei eine Ellipse.

Ich habe mir jetzt überlegt, dass ich die Ellipse zunächst in einen Kreis transformiere, und dann anschließend den Flächeninhalt des Kreises mittels Polarkoordinaten bestimme.

Dabei würde ich dann so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \overline{x}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow \overline{x}a=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{y}=\frac{y}{a} \Leftrightarrow \overline{y}a=y \end{eqnarray*}$

Die Funktionaldeterminante der Abbildung, die diese Transformation beschreibt, ist $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \int \int _K xydxdy = \int \int_L \overline{x}a \overline{y}b ab d\overline{x} d\overline{y} = a^2b^2\int \int_L \overline{x} \overline{y} d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$ , wobei jetzt hier L der Kreis sein soll.

Jetzt verwende ich Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} \overline{x}=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{y}=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$
Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Der Radius müsste hierbei jetzt zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ liegen, der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ . Damit erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} a^2b^2\int \int_L \overline{x} \overline{y} d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a^2b^2 \int_0^{2 \pi } \int_0^1 rcos(\phi) rsin(\phi) r dr d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a^2b^2 \int_0^{2 \pi } \int_0^1 r^3 cos(\phi) sin(\phi) dr d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac14 a^2b^2 \int_0^{2 \pi } cos(\phi) sin(\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac18 a^2b^2 + \frac18 a^2b^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Mir kommt es etwas seltsam vor, dass ich hier als Ergebnis 0 erhalte, daher frage ich mich, ob meine Vorgehensweise korrekt ist.

Kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.

21.10.2011, 20:41

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \int_K xydxdy \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} K:=\{(x,y) \in \mathbb R^2 | \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} < 1,x>0,y>0 \}, a,b >0 \end{eqnarray*}$

Schau dir nochmal das K genauer an. Du musst nämlich nicht über die ganze Ellipse integrieren, sondern nur über einen Viertel davon.

smile

21.10.2011, 21:40

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, das habe ich gar nicht beachtet.

mir ist aber noch nicht so ganz klar, welche Auswirkung das auf meine Rechnung hat.

Wenn ich nun statt $\begin{eqnarray*} \int \int_L \overline{x}a \overline{y}b ab d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \frac14 \int \int_L \overline{x}a \overline{y}b ab d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$ betrachte, ändert das doch gar nichts am Ergebnis, oder?

22.10.2011, 11:16

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich. die integralgrenzen ändern sich. überleg dir mal in wie fern.

22.10.2011, 11:57

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke.

Der Winkel müsste dann zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ liegen.

Der Radius sollte aber unverändert bleiben.

Das heißt, ich muss also das Integral (nachdem ich Polarkoordinaten verwendet habe)

$\begin{eqnarray*} \frac{ a^2b^2}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2} } \int_0^1 rcos(\phi) rsin(\phi) r dr d\phi \end{eqnarray*}$

betrachten?

22.10.2011, 12:04

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

jup. weißt du auch warum? :P

22.10.2011, 12:09

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich denke schon.

Den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ muss ich vor das Integral ziehen, damit ich, wie gonnabphd sagte, nur über ein Viertel der Ellipse integriere.

Durch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x>0,y>0 \end{eqnarray*}$ in K muss ich jediglich den 1. Quadranten betrachten. Dies ist aber nur ein Halbkreis, hat also einen Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

zum Integral:

Wenn ich das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{ a^2b^2}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2} } \int_0^1 rcos(\phi) rsin(\phi) r dr d\phi \end{eqnarray*}$ betrachte, erhalte ich am Ende dann den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{a^2b^2}{32} \end{eqnarray*}$ .

22.10.2011, 12:15

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

sry, hab wohl nicht genau hingeschaut. dachte, du hast

$\begin{eqnarray*} = \frac14 a^2b^2 \int_0^{\frac{ \pi}{2} } cos(\phi) sin(\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

geschrieben. man kann nicht einfach 'n vorfaktor 1/4 davor setzen, weil man über n vierteilkreis integriert. das einzige was sich verändert, sind die integralgrenzen. dann kommt auch was anderes raus.

22.10.2011, 12:25

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt bin ich etwas durcheinander. Deshalb mache ich es mal etwas ausführlicher:

Ich bleibe also bei meinem Ansatz von oben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{x}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow \overline{x}a=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{y}=\frac{y}{a} \Leftrightarrow \overline{y}a=y \end{eqnarray*}$

Die Funktionaldeterminante der Abbildung, die diese Transformation beschreibt, ist $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \int \int _K xydxdy = \int \int_L \overline{x}a \overline{y}b ab d\overline{x} d\overline{y} = a^2b^2\int \int_L \overline{x} \overline{y} d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$ , wobei jetzt hier L der Kreis sein soll.

Jetzt verwende ich Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} \overline{x}=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{y}=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$
Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Der Radius müsste hierbei jetzt zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ liegen, der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Damit erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} a^2b^2\int \int_L \overline{x} \overline{y} d\overline{x} d\overline{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a^2b^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 r^3cos(\phi)sin(\phi) drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2b^2}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)sin(\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{a^2b^2}{4} [-\frac12 cos^2(\phi)]_0^{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{a^2b^2}{8} \end{eqnarray*}$

edit: es muss im letzten Schritt natürlich $\begin{eqnarray*} =\frac{a^2b^2}{8} \end{eqnarray*}$ heißen, danke Wetal!

22.10.2011, 12:28

Wetal

Auf diesen Beitrag antworten »

bis auf letztes vorzeichen sieht das ok aus.

22.10.2011, 12:31

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, das ist mir auch gerade aufgefallen.

damit sollte die Aufgabe dann gelöst sein, danke für die Hilfe !

Neue Frage »

Antworten »

Doppelintegral - Ellipse

Verwandte Themen