Vereinigung von ÄquivalenzrelationensMengen |
| 21.10.2011, 20:57 | iova | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vereinigung von ÄquivalenzrelationensMengen Ich will zwei Mengen, die sich durch zwei Äquivalenzrelationen (R und S) aus einer Menge M ableiten lassen vereinigen. Wie kann ich feststellen, ob diese Menge auch wieder eine Aquivalenzrelation ist? Und wichtiger noch: Wie vereinige ich solche Mengen? Meine Ideen: Ich muss ja irgendwie die rst-Eigenschaften beweisen. Also: Reflexiv: Relationsvorschrift "R" von a auf a sowie die Relationsvorschrift "S" von a auf a muss erfüllt sein. Ist sie also auch, da vereinigt, oder irre ich mich? Symmetrisch: Wenn "R" von a auf b erfüllt ist, gilt auch "R" von b auf a. Wenn "S" von a auf b gilt, gilt "S" von b auf a. soweit so gut. Wie kann man jetzt aber von der Vereinigung der Vorschriften darauf schließen, dass sie immer noch symmetrisch ist? Transistiv: Wenn "R" von a auf b und von b auf c gilt, gilt auch "R" von a auf c. Das gleiche für "S". Trotzdem - wie kann ich jetzt darauf folgern, dass es auch für die Vereinigung von Mengen gilt? Vielleicht sollte ich ein Beispiel anwenden... sowas wie R ist erfüllt, wenn p-q 7 teilt und S, wenn es p-q 5 teilt. Es muss aber leider für alle Äqu.Rel gelten! |
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| 22.10.2011, 10:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mein Lieblingsbeispiel für Äquivalenzrelationen ist das folgende: M=Skatblatt, R=Farbe, S=Wert. Dann ist (Herz Bube, Herz Dame) in R, (Herz Dame, Pik Dame) in S. Ist R vereinigt S transitiv ? |
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| 23.10.2011, 17:25 | iova | Auf diesen Beitrag antworten » |
| skatblatt Hmm, das Beispiel mit dem Skatblatt gefällt mir schon mal ganz gut. (Danke, Elvis 
Nur eine Frage: Wenn ich jetzt die beiden Mengen vereinige, muss dann z.B. gelten: wenn HerzDame zu Herzbube in Relation steht, und Herzbube in Relation zu Pikbube, steht HerzDame doch nicht in Relation zu Pikbube. Soweit richtig? Es ist also nicht transistiv...und damit keine ÄquRel. Mit einem Gegenbeispiel geht das ganz gut. Gut, dies scheint auch für alle anderen ÄquRel's zu gelten. Geht es aber auch ohne Beispiel zu beweisen? __________________________________________________________________ Aber die gemeinsame Teilmenge müsste dann eine Äquivalenzrelation sein, oder? Wenn z.B. S alle Bilder sind, und R die Farbe rot, wäre die gemeinsame Teilmenge ebenfalls eine ÄquRel mit allen roten Bildern. Soweit so schön, aber kann man hierfür >>beweisen<<, dass es sich immer noch um eine ÄquRel handelt? Auch ohne Beispiele? |
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| 24.10.2011, 17:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Ein Gegenbeispiel ist immer der Beweis dafür, dass eine Aussage falsch ist. 2. Wenn man zeigen möchte, dass eine Aussage wahr ist, muss man sie beweisen. In diesem Fall genügt ein Beispiel nicht. Behauptung : Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelation. Beweis: Eigenschaften (r),(s),(t) beweisen und dabei diese Eigenschaften für die einzelnen Relationen voraussetzen. (Oder: Gegenbeispiel angeben
) |
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