lineare Relation

21.10.2011, 21:50

Rica

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lineare Relation

Meine Frage:
Wenn ich a < b auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ habe

=> $\begin{eqnarray*} \mathbb R = \left\{ (x,y) | x,y \in \mathbb R , x < y \right\} \end{eqnarray*}$

Ist dann die Relation linear oder nicht linear?

Laut dem kopiertem Skript ist es nicht linear aber warum?

Meine Ideen:
Ich dachte es sei linear, denn linear heißt doch: $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in M: (x,y) \in \mathbb R oder (y,x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und das trifft doch meiner Meinung bei a < b zu oder nicht?

21.10.2011, 22:05

Pascal95

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Das ist nicht ganz korrekt:

$\begin{eqnarray*} \color{red} \mathbb R\color{black} = \left\{ (x,y) | x,y \in \mathbb R , x < y \right\} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} R = \left\{ (x,y) | x,y \in \mathbb R , x < y \right\} \end{eqnarray*}$

Linear ist wohl das, was ich unter total verstehe.
Also sind je zwei Elemente vergeleichbar (bzgl. dieser Rel).

Ist also $\begin{eqnarray*} 0<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0>0 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

21.10.2011, 22:14

Rica

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Aber kann es denn Überhaupt $\begin{eqnarray*} 0 < 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0 > 0 \end{eqnarray*}$ sein? Denn das würde ja sagen, dass $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ ist

21.10.2011, 22:17

Pascal95

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Du hast also festgestellt, dass weder die eine noch die andere Aussage zutrifft.

Aber genau so ist eine lineare Ordnung definiert:
Je zwei Elemente sind vergleichbar, also genau so wie du es ganz unten in deinem Eingangspost geschrieben hast.

Was haben wir gezeigt ?

21.10.2011, 22:19

Rica

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Ja damit, ist die Relation linear.

21.10.2011, 22:56

Rica

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So ich wurde aus dem Skript nun schlau, a < b ist nicht linear weil sonst würde die Negation der Aussage auch linear sein (das wäre ja nach Negationen nicht möglich).
Da >= die Umkehrung von < ist, ist das >= linear und < nicht linear.

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22.10.2011, 14:55

Pascal95

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Dass die Relation nicht linear ist, haben wir doch durch ein Gegenbeispiel gezeigt.

22.10.2011, 22:42

Rica

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Danke erst Mal für die vielen Antworten.

0 < 0 oder 0 > 0 ist das Gegenbeispiel, dass es nicht linear ist?
Noch eine Frage, beim Prüfen auf linear, transitiv etc. kann ich wie im Beispiel 0 < 0 auch gleiche "Werte" vergleichen? Dachte dass a < b würde solche Werte ausschließen.

22.10.2011, 22:49

Pascal95

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Eben, dass dieses $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ diese Werte "ausschließt", macht die Relation nicht linear.

Schaue dir bitte eine Definition von linear an.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung

22.10.2011, 23:04

Rica

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Aber genau das verstehe ich nicht, denn dort steht ja auch "das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge mit a ≠ b ist stets mindestens eine der beiden Relationen aRb oder bRa erfüllt." und dann nehmen wir 0 und 0 an. Aber das ist doch nicht verschieden und somit doch garnicht erlaubt zum prüfen.

22.10.2011, 23:25

Rica

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Macht für mich keinen Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ ist, dass man dennoch annimmt, dass die Beiden gleich sind und dann auf 0 < 0 prüft.

Werd es halt so hinnehmen auch wenn ich es nicht verstehe.

22.10.2011, 23:38

Pascal95

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Oh, entschuldige, das habe ich anders gelernt, und dachte, dass dies auch Wikipedia so lehrt. Daher habe ich dir einfach den Link gegeben, ohne es genauer durchzulesen.

Die Definition, die ich kenne, gibt es hier:
Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition

22.10.2011, 23:43

Rica

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a kommt ja auch der Menge A und b aus der Menge B und in A kann ja 0 drin stecken und in B 0, dann wäre $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ gegeben, obwohl beide Elemente die 0 sind und dann ist < nicht mehr gegeben. Ist das der richtige Ansatz?

22.10.2011, 23:45

Pascal95

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Jetzt weiß ich nicht, worauf du hinaus willst verwirrt

verwirrt

22.10.2011, 23:49

Rica

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Danke für den Link, so da dort auch $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ als linear definiert ist muss die Umkehrung ja nicht linear sein.

Danke für die Antworten und die Links.

22.10.2011, 23:51

Rica

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Mein

Zitat:

a kommt ja auch der Menge A und b aus der Menge B und in A kann ja 0 drin stecken und in B 0, dann wäre $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ gegeben, obwohl beide Elemente die 0 sind und dann ist < nicht mehr gegeben. Ist das der richtige Ansatz?

bezog sich auf den Wikipedialink.
Aber das ist hinfällig, da ja im zweiten Link gezeigt wurde, dass <= linear ist.

22.10.2011, 23:53

Pascal95

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Achso ok,
mich würde mal die Definition interessieren, die ihr gelernt habt.

Hast du da eine griffbereit ?

22.10.2011, 23:58

Rica

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Zu linear?
Da habe ich nur:
linear: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in M (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} oder (b,a)\in R \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 00:06

Pascal95

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Genau die Definition kenne ich auch Freude

Freude

Ich glaube, du hast es schon verstanden, aber es hilft, sich zu überlegen, was diese Symbolkette bedeutet.

Für alle a,b aus M (M sind hier im Beispiel die rellen Zahlen) gilt, dass...

(kannst du weitermachen)

23.10.2011, 00:10

Rica

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Für alle a,b aus den reellen Zahlen gilt, a < b oder b < a.

23.10.2011, 00:22

Pascal95

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Genau,. da hast du es schon auf unser Beispiel bezogen.

Allgemein könnte man sagen:
Für alle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} aRb \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} bRa \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ steht in Relation zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ steht in Relation zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von Rica
Für alle a,b aus den reellen Zahlen gilt, a < b oder b < a.

Richtig
Dass das nun nicht stimmt, haben wir ja gezeigt smile

smile

23.10.2011, 00:28

Rica

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Schon was mich nur verwirrt hat war, dass wir halt für a und b die gleichen Werte genommen haben.

23.10.2011, 00:37

Pascal95

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Das hat ja niemand verboten.

So wie du es aufgeschrieben hast, ist es kurz und exakt.

Und wenn wir $\begin{eqnarray*} a:=0,\, b:=0 \end{eqnarray*}$ setzen haben wir einen Widerspruch.
Also -> nicht linear !

Die Definition auf Wiki verwundert mich aber ein bisschen ...

Naja, aber so stimmt es ja mit deiner Definition smile

smile

23.10.2011, 11:58

Rica

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Noch eine kleine Frage, hat mit asymmetrisch zu tun. Nach unserer Überlegung das a=0 und b=0 ist und die Definition von asymmetrisch ist: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in M (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} oder (b,a)\notin R \end{eqnarray*}$ müsste doch die Abbildung nicht asymmetrisch sein, jedoch laut Skript ist sie asymmetrisch warum?

Denn wenn:
a = 1 und b = 2 ist dann ist die Abbildung asymmetrisch.
jedoch: beim Testen von
a = 0 und b = 0 ist sie nicht asymmetrisch.

Eine Abbildung muss beides Erfüllen um die Eigenschaft zu haben also müsste sie doch nicht asymmetrisch sein. Warum ist es nun doch?

23.10.2011, 12:03

Rica

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Habe mich verschrieben:
Die Definition ist: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in M (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\notin R \end{eqnarray*}$

Denn wenn:
a = 1 und b = 2 ist dann ist die Abbildung asymmetrisch. da 1< 2 => nicht 2<1 ist (Somit richtig)

jedoch: beim Testen von
a = 0 und b = 0 ist sie nicht asymmetrisch, denn 0 < 0 => nicht 0 < 0 ist (Somit falsch)

Eine Abbildung muss beides Erfüllen um die Eigenschaft zu haben also müsste sie doch nicht asymmetrisch sein. Warum ist es nun doch?

23.10.2011, 12:19

Pascal95

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Hallo.

Zitat:

Original von Rica
Habe mich verschrieben:
Die Definition ist: $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in M (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\notin R \end{eqnarray*}$

Das muss eine Relation erfüllen, um asymmetrisch zu sein.

Zitat:

Original von Rica
jedoch: beim Testen von
a = 0 und b = 0 ist sie nicht asymmetrisch, denn 0 < 0 => nicht 0 < 0 ist (Somit falsch)

Hier müssen wir ein bisschen Aussagenlogik ins Spiel bringen:
Es ist hier ja eine Implikation, wie ist $\begin{eqnarray*} X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ definiert ?
(z.B. Wahrheitstabelle)

23.10.2011, 12:33

Rica

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X -> Y ist nur falsch wenn X wahr ist und Y falsch, sonst ist X -> Y immer wahr.

23.10.2011, 12:47

Rica

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Ahh nun ist der Groschen gefallen smile

smile

0 < 0 ist falsch und nicht 0 < 0 ist wahr
Somit ist die Implikatiom aus falsch -> wahr und dann ist sie wahr.

23.10.2011, 12:58

Pascal95

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Ja, richtig.

Die Relation ist also asymmetrisch !

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