Teilmengen der komplexen Zahlen skizzieren
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22.10.2011, 01:46 herzass Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen der komplexen Zahlen skizzieren
Hallo liebe Mathematiker,
habe meine erste Funktionentheorie-Vorlesung hinter mir und brauche schon Hilfe. Es geht darum, verschiedene Teilmengen der komplexen Zahlen zu skizzieren. Wir haben dazu fünf Teilaufgaben, ich nenne mal zwei Beispiele:
a) A:= {z aus C: l z+2i l > l z l }
b) B:= {z aus C: Re (z²) = -1 }

Ich weiß leider noch gar nicht, wie ich da genau vorgehen soll und kann mir nichts genaues vorstellen.
In der Vorlesung haben wir bisher eigentlich nur die komplexen Zahlen eingeführt und Rechenregeln aufgeschrieben.

Danke schonmal für jede Hilfe!
22.10.2011, 01:56 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Setze allgemein mit z=x+iy an und benutze die jeweiligen Definitionen für den Betrag einer komplexen Zahl bzw den Realanteil Re einer komplexen Zahl.
22.10.2011, 01:57 Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Herzass,

wenn du weißt, was ein Realteil ist und wie man den Betrag einer Komplexen Zahl berechnet, dann kannst du beide Aufgaben mit dem Ansatz z=a+bi (allgemeine Darstellung einer Komplexen Zahl) lösen.

Versuchs mal! Kannst ja mal deine Rechnung posten, wenn du nicht weiterkommst!

VG Dustin
22.10.2011, 01:58 Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

ich übergebe Augenzwinkern
22.10.2011, 10:44 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke.
Also bei der a) habe ich jetzt einfach mal z= a+ ib gesetzt.
also l a+ ib + 2i l > l a+ ib l
und dann noch die driecksgleichung angewandt:

l a+ib l + l 2i l >=l a+ib+2i l > l a+ib l

stimmt das? aber ich weiß auch gar nicht auf was das dann hinaus laufen soll bzw. was ich dann am ende zeichnen soll ?!

ist bei b) dann Re(z²) = a² wegen Re(z)=a ?

Danke
22.10.2011, 10:49 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht das getan, was dir geraten wurde, sprich du bist in keinster Weise auf die dir angebotenen Hinweise eingegangen.
Insofern musst du dir überlegen was du möchtest, denn wenn von der einen Seite dies kommt und von der anderen Seite jenes, dann wird man wohl konsequent aneinander vorbeireden. Wink
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22.10.2011, 10:56 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

warum, ich habe doch z= a+ib gesetzt ?!
sorry, kann nicht jeder gleich alles kapiern
22.10.2011, 10:59 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Von sofort alles kapieren spricht ja niemand.
Es ging nur darum z.B. die Definition für den Betrag einer komplexen Zahl nachzuschlagen.
Und das hast du offenbar nicht getan, sondern stattdessen was ganz anderes, nämlich eine Dreiecksungleichung hingeschrieben.
Neuer Versuch, wie ist der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ?
22.10.2011, 11:05 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

naja des hab ich gemacht, weil ich dachte, das könnte was bringen...und nicht weil ich dich damit verärgen wollte. also sorry für diesen fehler, aber war halt mein ansatz.

l z l =

hilft das weiter?
22.10.2011, 11:14 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die trittst hier wirklich regelmäßig ins Fettnäpfchen.
Auch die Frage "Hilft das weiter ?" ist eigentlich nicht gerade taktvoll, denn damit unterstellst du mir ja, dass ich gar nicht weiß, worauf ich hinaus will.
Versuche mir also einfach zu glauben, dass ich dich nicht ver***** will. Augenzwinkern

Setze das nun also in die Ungleichung bei a) ein und bringe zudem auch noch die linke Seite, also das z+2i erstmal auf die bekannte Form.
22.10.2011, 11:22 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, Bjoern1982, sorry!!!

hmm also bei l z+2i l müsste dann doch

sein oder???
22.10.2011, 11:34 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, auch hier benutze wieder z=a+bi, dadurch wird z+2i dann zusammengefasst zu was ?
Was ist dann der Realanteil und was der Imaginäranteil dieser komplexen Zahl ?
22.10.2011, 11:39 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

l z+2i l = l a+ bi + 2i l = l a+ (2+b)i l ????????

dann ist a der realteil und (2+b) der imaginärteil
22.10.2011, 11:42 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, genau so ist das. Freude

Realanteil und Imaginäranteil brauchen wir ja genau für den Betrag einer komplexen Zahl.

Somit entsteht durch die Ungleichung l z+2i l > l z l nun also was ?
22.10.2011, 11:50 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

l a+ (2+b)i l > l z l , also
> ??
22.10.2011, 11:52 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, da die Wurzeln auf beiden Sieten stehen, kannst du sie hier auch weglassen.
Wenn du die Klammer dann auflöst und die Ungleichung weiter zusammenfasst, dann wird sich so einiges wegheben...
22.10.2011, 11:56 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis müsste b>2 sein, richtig?
b ist ja imaginärteil und wird an der y-achse angetragen oder?
b>2 ist dann also die teilmenge die ich zeichnen muss
22.10.2011, 12:02 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit 2 hab ich jetzt nichts raus, nachdem sich die Quadrate alle wegheben, entsteht doch 4+4b>0 <=> ...
22.10.2011, 12:07 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

uups ja, also b>-1.
22.10.2011, 12:09 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, somit erfüllen also alle komplexen Zahlen, deren Imaginäranteil größer als -1 ist, die gegebene Ungleichung.
Wie könnte man das grafisch darstellen ?
22.10.2011, 12:20 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

naja der imaginärteil ist ja die y-achse, also im koordinatensystem dann einfach alle werte, die größer als -1 sind, oder?

habe grade noch mit einer zweiten aufgabe angefangen:
l z+2 l = l z-i-1 l <=>
l a+bi+2 l = a+(b-1)i-1 l

und dann den betrag auflösen,
=
stimmt das?
22.10.2011, 12:24 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also einfach eine zur x-Achse (bzw Realanteil-Achse) Parallele durch y=-1 einzeichnen.

Zur anderen Aufgabe:

Zitat:
l a+bi+2 l = a+(b-1)i-1 l


Soweit ok, nur um später besser den Betrag ablesen zu können, sortiere noch etwas um:

| (a+2)+bi | = |(a-1)+(b-1)i|

Damit wird dann bestimmt auch deutlicher wie die Beträge links und rechts aussehen müssen, oder ?
22.10.2011, 12:27 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, also gehts dann weiter mit
= ?
22.10.2011, 12:28 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
22.10.2011, 12:30 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

und dann kommt bei mir raus 6a+2b=-2
wie muss ich dann weiter machen bzw. was skizzieren?
22.10.2011, 12:34 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Löse die Gleichung nach b auf.
Aus der Schule kennt man ja evtl noch Gleichungen der Form y=mx+n
Hier haben wir statt x und y eben a und b im Spiel.
Erinnert dich das an etwas ?
22.10.2011, 12:39 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann bekomme ich b=-3a-1.
dann muss ich also eine gerade zeichnen mit der steigung -3, achsenabschnitt -1.
vielen dank schonmal für deine hilfe heute!
22.10.2011, 12:43 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so geht das. Wink
22.10.2011, 12:56 herzass Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!
22.10.2011, 13:02 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne, viel Erfolg weiterhin.
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