Unendliche Reihe - Majorante bestimmen

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22.10.2011, 11:19	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe - Majorante bestimmen Hallo! Ich muss für folgende Reihe eine Majorante bestimmen und dadurch die Konvergenz zeigen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac {\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5+n^3-1}} \end{eqnarray}$ Ich habe bisher folgendes: $\begin{eqnarray} < \sum\limits_{k=1}^n \frac {n}{\sqrt[3]{n^5+n^3}} \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt hier mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac {n}{\sqrt[3]{n^3+n^3}} \end{eqnarray}$ weitermachen? Bzw. wie weiß ich, ob meine Abschätzung richtig ist? Danke im Voraus!
22.10.2011, 12:03	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Du studierst nicht zufälligerweise Mathe im ersten Semester an der ETH Zürich? 2. Deine Abschätzungen sind korrekt, allerdings helfen sie dir nicht weiter, da $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt[3]{n^3+n^3}} \end{eqnarray}$ divergiert. MfG
22.10.2011, 12:28	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ja, du auch? 2. Ah ja, stimmt. Ich hab jetzt folgendes versucht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac {\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5+n^3-1}} < \sum\limits_{k=1}^n \frac {\sqrt{n + 1}}{\sqrt[3]{2n^3}} = \sum\limits_{k=1}^n \frac {\sqrt{n + 1}}{\sqrt[3]{2}n} \end{eqnarray*}$ Wäre es jetzt möglich, den Zähler zu verkleinern (also die 1 wegzubringen), sodass man sqrt(n) kürzen kann?
22.10.2011, 12:34	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry für den Doppelpost, aber geht's vielleicht so? Betrachte die Wurzel oben (sqrt(n+1)): $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}=\sqrt{n²(\frac{1}{n}+\frac{1}{n²})}=n\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n²}} \end{eqnarray}$ Jetzt kann man n kürzen und der Zähler geht eindeutig gegen 0 -> konvergent
22.10.2011, 12:45	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ja, ich auch. 2. Auch deine zweite Abschätzung ist zu grob. 3. Du verwechselst da etwas. Es gilt: Wenn eine Reihe konvergent ist, dann ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge. Allerdings gilt nicht, dass du aus einer Nullfolge die Konvergenz der Reihe schliessen kannst (harmonische Reihe)! Versuche es mal mit der Abschätzung: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt[3]{n^5+n^3-1}} \leq \frac{\sqrt{n+1}}{n^{5/3}} \end{eqnarray}$ MfG
22.10.2011, 13:27	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja, das ist ja nur ein notwendiges Kriterium Gut, dann versuch ich mal: $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt{n+1}} {\sqrt[3]{n^5}} < \frac {\sqrt[3]{(n+1)²}} {\sqrt[3]{n^5}} = \frac {(n+1)²} {n^5} = \frac {n²+2n+1} {n^5} < \frac {n²+n²+n²} {n^5} = \frac {3} {n^3} \end{eqnarray}$ Wenn das nicht richtig ist, könnte ichs auch so versuchen: $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt{n+1}} {\sqrt[3]{n^5}} < \frac {\sqrt[3]{n²}} {\sqrt[3]{n^5}} = \frac {1} {n^3} \end{eqnarray}$ Ist halt etwas "grober", aber dafür steht am Ende im Zähler 1 und nicht 3. Übrigens: Hast du etwa schon die ganze Serie gelöst? Woher weißt du das alles?
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22.10.2011, 13:32	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Abschätzungen sind zwar richtig, deine Gleichungen allerdings nicht. Es gilt sicher nicht $\begin{eqnarray} \frac{x}{y} = \frac{x^n}{y^n} \end{eqnarray}$ ! MfG PS: Ich bin gerade dabei, die Serie zu lösen, allerdings habe ich die Tipps vom Assistenten verlegt.
22.10.2011, 14:51	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube heute ist so ein Tag wo ich nicht richtig denken kann^^ Naja jetzt sollt's stimmen, ich gehe von der unteren Abschätzung aus und erweitere $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt[3]{n^2}} {\sqrt[3]{n^5}} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt[3]{n^2}\sqrt[3]{n^5}\sqrt[3]{n^2}} {\sqrt[3]{n^5}\sqrt[3]{n^2}\sqrt[3]{n^5}} \end{eqnarray}$ . Kürzen => $\begin{eqnarray} \frac {n^{6/3}n^{5/3}} {n^{15/3}n^{2/3}} \end{eqnarray}$ und schließlich folgt: $\begin{eqnarray} \frac {1} {n²} \end{eqnarray}$ , somit konvergent. So ich hoffe, dass es jetzt stimmt
22.10.2011, 15:01	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider falsch. $\begin{eqnarray} n^{2/3} \cdot n^{2/3} = n^{2/3 + 2/3} = n^{4/3} \neq n^{6/3} \end{eqnarray}$ und analog im Nenner. Deinen Bruch kann man übrigens viel einfacher vereinfachen: $\begin{eqnarray} \frac{n^{2/3}}{n^{5/3}} = n^{2/3 - 5/3} = n^{-1} \end{eqnarray}$ Und wie du siehst, hast du wieder zu grob abgeschätzt, denn die harmonische Reihe divergiert. MfG
22.10.2011, 15:34	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Einen letzten Versuch noch: $\begin{eqnarray} \frac {\sqrt{n+1}}{n^{5/3}} < \frac {\sqrt{n+n}}{n^{5/3}}= \frac {\sqrt{2n}}{n^{5/3}} = \frac {\sqrt{2} n^{1/2}}{n^{5/3}}=\frac {\sqrt{2} * n^{3/6}}{n^{10/6}}=\frac {\sqrt{2}}{n^{7/6}} \end{eqnarray*}$ Ist das Wurzel(2) da ausschlaggebend? Danke im Voraus!
22.10.2011, 15:44	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon besser aus. Die Wurzel 2 ist irrelevant, da man sie aus der Reihe rausziehen kann (und $\begin{eqnarray} \zeta \left( \frac{7}{6} \right) \end{eqnarray}$ konvergiert). MfG
22.10.2011, 15:46	xcx33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke Weiß auch nicht, was ich heute für nen Müll gerechnet habe^^ Hoffentlich sind die anderen Beispiele, die ich in der Zeit gemacht habe, nicht so falsch Nochmals danke für die Hilfe!

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