Variablen trennen in binomischer Gleichung |
| 22.10.2011, 11:36 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Variablen trennen in binomischer Gleichung Hi, ich stehe hier vor dem Problem, dass ich ein AWP lösen soll. Es lautet y'(x)=(x+y(x))^2 und y(0)=0. Meine Ideen: Im Prinzip weiß ich wie man so ein AWP lösen kann, hier steht im Übrigen auch dabei, dass man die Variablen trennen soll, aber da kommt schon mein Problem. Ich weiß nicht wie ich das hier anstellen soll, denn mit der Binomischen Formel habe ich immer einen Teil mit x*y(x) und ich weiß wirklich nicht wie man den noch trennen kann. Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar! |
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| 22.10.2011, 11:47 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Variablen trennen in binomischer Gleichung Substituiere x+y=z (denk auch daran, das y' korrekt zu ersetzen). Dann kannst du die Variablen trennen. |
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| 22.10.2011, 11:53 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi, danke schon mal, also ich soll jetzt x+y=z setzen, dann hab ich y=z-x und y'=-1???? das kommt mir grad seht komisch vor, weil dann steht da ja am ende -1=z^2 und was hab ich dann davon? |
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| 22.10.2011, 12:16 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
z ist wieder eine Funktion z(x). Die Ableitung davon ist dann... ? |
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| 22.10.2011, 12:20 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja ich denke die ableitung von z(x) = x+y wäre doch 1 oder? oder sie ist 1+y'(x) ... aber warum muss ich überhaupt z ableiten? ich dachte ich müsste y ableiten? ok, hier beim zweiten wär dann ja y'(x) = z(x) - 1 ? is das so richtig? |
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| 22.10.2011, 12:25 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ableitung von z(x) ist logischerweise einfach z'(x). Und z leitest du ab, damit du in der DGL das y' durch z' ersetzen kannst. Du kannst doch nichts anfangen, wenn rechts x und z auftauchen und links y'. y muss vollständig raus aus der DGL. |
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| 22.10.2011, 12:27 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und warum genau kann ich einfach y' durch z' ersetzen??? also ich dachte z wäre x+y und y' ist doch (x+y)^2 ? |
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| 22.10.2011, 12:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einsetzen in die DGL: |
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| 22.10.2011, 12:33 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achsoooo ja ok, und dann einfach die dgl nach z auflösen und dann zurücksubstituieren? geh ich mal davon aus? |
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| 22.10.2011, 12:38 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nee moment, dann hab ich da stehn dz/dx=z^2 + 1 so aber jetzt weiß ich schon wieder nicht wie ihc das anstelln soll dass am ende nur z und nur x auf je einer seite steht... vielleicht bin ich auch einfahc nur zu doof dazu heut...? |
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| 22.10.2011, 12:40 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist es doch eigentlich ganz besonders einfach. |
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| 22.10.2011, 12:42 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ohje bin ich blöd! danke... ich wollte warum auch immer die eins rechts lassen... 
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| 22.10.2011, 12:46 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so jetzt würd rauskommen, also nach ausrechnen und rücksubstituieren: y = sqrt(exp(x)-1)-x is das jetzt richtig so? würd mich außerordentlich freuen! |
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| 22.10.2011, 13:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das schöne an Differentialgleichungen ist doch, dass man die eigenen Lösungen immer sofort kontrollieren kann, indem man sie in die DGL einsetzt. Und nein, deine Lösung ist sehr falsch. 1/(z²+1) ist ein Standardintegral, welches nämlich? Sonst nachschlagen. Mit Wurzeln und Exponentialfunktionen kommt man hier nicht weit. Ich weiß beim besten Willen nicht, wo die bei dir herkommen. |
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| 22.10.2011, 13:42 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh nein... arctan... ok, das wusst ich tatsächlich nicht... :-( danke! |
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| 22.10.2011, 13:46 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und ehrlich gesagt, kann ich mit dem auch nicht umgehn... also hab ich jetzt arctan z +C = x +C also arctan (x+y) +C = x +C hm... jetzt hörts auf... |
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| 22.10.2011, 13:59 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal reicht es völlig, auf EINER der beiden Seiten die Integrationskonstante hinzuzufügen. Auf beiden Seiten ist unnötig umständlich. Und selbst wenn: Dann dürftest du sie nicht gleich benennen. Dann müsste schon sowas her: Aber wie gesagt: Es ist überflüssig, denn nun definiert man sich die Konstante einfach neu: und erhält Und das kann man auch von Anfang so machen (der Einfachheit halber). Und wo liegt nun noch das Problem? Rücksubstituieren und nach y auflösen. Sowas solltest du können. |
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| 22.10.2011, 14:15 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja okay, das mit den konstanten hat mir auch nicht gefallen... ja rücksubstituieren arctan (x+y) = x +C und ja vielleicht sollte ich es können, allerdings hab ich es noch nie gelernt, weder in der schule noch in der uni kam der arctan vor, also nein, ich kanns leider nicht nach y auflösen... ich weiß nicht ob ich die summe einfach so schreiben kann: arctan x + arctan y oder nicht oder wie auch immer und wie ich dann auch noch des arctan vorm y wegbekomm weiß ich auch nicht so recht wär nett wenn du mir da nochmal kurz auf die sprünge helfen könntest, denn in meinem schlauen buch stehen nur so sachen wie arctan (-x)= -arctan(x)... ja das kann ich hier ja net so gebrauchen weil ich hab ja hier ne summe drin... |
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| 22.10.2011, 14:17 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
moment... habs grad gegoogelt... wäre y=tan(x+C)-x was? |
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| 22.10.2011, 14:45 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz genau. Geht doch. Nun wäre noch C so zu bestimmen, dass y(0)=0 gilt. |
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| 22.10.2011, 17:00 | am121991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja da würde ich jetzt vorschlagen und hoffen dass es stimmt: C = 0 C = alle ganzzahligen Vielfachen von Pi zumindest wäre das so wenn man sich die Kurve ansieht, denn wenn x = 0 ist, dann hängt es ja nur noch von C ab und ja... dann komm ich auf obiges ergebnis... |
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