Umgebungsbasis

22.10.2011, 12:14

Kreuzkruzifix2

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Umgebungsbasis

Meine Frage:
Ich habe folgende Definition vorliegen:
Es sei X ein topologischer Raum und $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Ein System \underline{V} $\begin{eqnarray*} \subset U(x) \end{eqnarray*}$ heißt Umgebungsbasis von x, wenn für jede Umgebung U von x eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} V\subset U \end{eqnarray*}$ in \underline{V} enthalten ist.

Meine Ideen:
So verstehe ich die Definition:
Wir haben einen topologischen Raum X vorliegen und $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ . B sei eine Menge von Umgebungen. x besitzt eine Umgebung U. Zu dieser Umgebung U gibt es eine Umgebung V, die komplett in U liegt $\begin{eqnarray*} (V\subset U) \end{eqnarray*}$ . U und V liegen in dieser Menge B.

Beispiel 1: In R bildet die Menge B=offenen Intervalle $\begin{eqnarray*} (x-\epsilon,x+epsilon), \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , eine Umgebungsbasis von x. Das ist soweit klar, jedes Intervall V steckt im nächst größeren Intervall= U drin. Jetzt kommt aber im Script: Es reichen schon die Umgebungen mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}. \underline{V}=\{(x-\frac{1}{n};x+\frac{1}{n}\} \end{eqnarray*}$ ist also eine Umgebungsbasis von x. Warum muss ich, wenn ich nur die obige Definition kenne, hier einen Radius festlegen?

Beispiel 2: In jedem topologischen Raum bilden die offenen Umgebungen eines Punktes x eine Umgebungsbasis von x. Das verstehe ich gar nicht.
Wenn ich jetzt im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ einen Punkt x habe,hat dieser Punkt ja unendlich viele Umgebungen. Oder betrachte ich nur eine Umgebung=U und dann gibt es laut Definition eine offene Menge O um x und es ist dann O=V? Ist meine Umgebungsbasis hier dann B=offene Umgebungen von x?

22.10.2011, 13:19

pseudo-nym

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RE: Umgebungsbasis

Zitat:

Original von Kreuzkruzifix2
Meine Ideen:
So verstehe ich die Definition:
Wir haben einen topologischen Raum X vorliegen und $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ . B sei eine Menge von Umgebungen. x besitzt eine Umgebung U. Zu dieser Umgebung U gibt es eine Umgebung V, die komplett in U liegt $\begin{eqnarray*} (V\subset U) \end{eqnarray*}$ . U und V liegen in dieser Menge B.

Was hat das mit der Umgebungsbasis zu tun?

22.10.2011, 18:16

kreuzkruzifix

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RE: Umgebungsbasis
achso, also diese Menge B ist meine Umgebungsbasis.

22.10.2011, 18:55

pseudo-nym

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RE: Umgebungsbasis
Ok, deine Vorstellung ist an zwei Stellen falsch. x muss keine Umgebung besitzen, und U selbst muss nicht zur Umgebungsbasis gehören.

22.10.2011, 19:32

kreuzkruzifix

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RE: Umgebungsbasis
das verwirrt mich jetzt irgendwie noch mehr...ich bin sehr oft sehr begriffsstutzig.
Dass x auch mal keine Umgebung hat, das verstehe ich (z.B. $\begin{eqnarray*} x\in X, M=[a,b] \end{eqnarray*}$ , x sei Punkt von M. $\begin{eqnarray*} x \in M^0 \end{eqnarray*}$ so ist M eine Umgebung von x. Ist aber $\begin{eqnarray*} x \not\in M^0 \end{eqnarray*}$ so ist M keine Umgebung von x).
In diesem Fall besitzt x keine Umgebung und ich kann keine Umgebungsbasis finden. Oder ist {x} dann eine Umgebungsbasis und wenn ja, warum?

Und dass U gar nicht zu der Umgebungsbasis gehören muss, das versteh ich gar nicht.

Vielen Dank schon mal!

22.10.2011, 19:55

pseudo-nym

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RE: Umgebungsbasis
Dein Beispiel finde ich zwar wirr, (z.B. wenn $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ist warum sagst du dann dass $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ liegt.) aber ich muss mich korrigieren. Jeder Punkt in einem topologischen Raum $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T) \end{eqnarray*}$ hat eine Umgebung, denn $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal T \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} X \in \mathcal U(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Oder ist {x} dann eine Umgebungsbasis und wenn ja, warum?

Im Allgemeinen gilt $\begin{eqnarray*} \{ x \} \nsubseteq \mathcal T \end{eqnarray*}$ und somit stehen stehen die Chancen für $\begin{eqnarray*} \{ x \} \end{eqnarray*}$ schlecht eine Umgebungsbasis zu sein.
Ich glaube du meinst $\begin{eqnarray*} \{ \{ x \} \} \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass die Umgebungsbasis aus offenen Mengen bestehen muss und $\begin{eqnarray*} \{ x \} \end{eqnarray*}$ nicht ungedingt offen ist.

Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Und dass U gar nicht zu der Umgebungsbasis gehören muss, das versteh ich gar nicht.

Warum sollte das der Fall sein?

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22.10.2011, 20:15

kreuzkruzifix

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RE: Umgebungsbasis
Ich glaube, ich verstehe einfach die Definition noch nicht...
Wenn meine beiden Beispiele richtig sind, dann ist U ja schon in der Umgebungsbasis drin. Mein U wäre ja bei Beispiel 1 z.B. die Umgebung $\begin{eqnarray*} (x-1;x+1) \end{eqnarray*}$ und V ist dann eine Umgebung, die in U liegt, z.B. $\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2}, x+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ .
Meine Idee wäre hier jetzt, dass U jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} (x-3;x+5) \end{eqnarray*}$ und ich aber als Umgebungsbasis die Intervalle $\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{n};x+\frac{1}{n}) mit n\in N \end{eqnarray*}$ wähle. Ist das richtig?
Wenn das jetzt nicht stimmt, hast du mir ein konkretes Beispiel bei dem U nicht in der Umgebungsbasis liegt?

22.10.2011, 20:29

pseudo-nym

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Dein Beispiel stimmt schon. Wenn $\begin{eqnarray*} \underline V_x = \left\{ \left( x - \frac 1n ; x + \frac 1n \right) : n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} (x-3;x+5) \notin \underline V_x \end{eqnarray*}$ . Finde jetzt ein $\begin{eqnarray*} V \in \underline V_x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V \subseteq (x-3;x+5) \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 09:02

kreuzkruzifix

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Dann wäre z.B. mein $\begin{eqnarray*} V=(x-1;x+1) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} V\in \underline{V}_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\subset U=(x-3;x+5) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hab ich noch eine ganz wichtige Frage: Warum muss mein $\begin{eqnarray*} \underline{V}_x \end{eqnarray*}$ abzählbar sein? (siehe wieder Beispiel 1). Ich habe in meinem Vorlesungsskript nur diese eine Definition und da kann ich ja eigentlich nichts mit Abzählbarkeit herauslesen, oder?
Wie sieht es da dann im Beispiel 2 aus? Da gibt ist es ja keine abzählbaren Umgebungen, sondern unendlich viele Umgebungen. Aber trotzdem bilden die offenen Umgebungen eines Punktes eine Umgebungsbasis.

23.10.2011, 10:34

pseudo-nym

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Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Dann wäre z.B. mein $\begin{eqnarray*} V=(x-1;x+1) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} V\in \underline{V}_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\subset U=(x-3;x+5) \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig. Beachte allerdings dass bei einer Umgebungsbasis dies für alle U möglich sein muss.

Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Warum muss mein $\begin{eqnarray*} \underline{V}_x \end{eqnarray*}$ abzählbar sein? [...] Ich habe in meinem Vorlesungsskript nur diese eine Definition und da kann ich ja eigentlich nichts mit Abzählbarkeit herauslesen, oder?

Da steht auch nichts von Abzählbarkeit. Wie dein Beispiel 2 schon sagt ist $\begin{eqnarray*} \mathcal U (x) \end{eqnarray*}$ immer eine Umgebungsbasis, egal wie viele Umgebungen x hat.
Wenn jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis hat, dann gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom und das hat Konsequenzen die sehr nützlich sein können.

Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Da gibt ist es ja keine abzählbaren Umgebungen, sondern unendlich viele Umgebungen.

Die Mächigkeit der Umgebungen in $\begin{eqnarray*} \underline V_x \end{eqnarray*}$ hat nichts damit zu tun ob $\begin{eqnarray*} \underline V_x \end{eqnarray*}$ abzählbar ist oder nicht.
Und was soll denn dieses "sondern" bedeuten? Willst du andeuten, dass eine Menge nicht abzählbar und gleichzeitig unendlich groß sein kann?

23.10.2011, 16:50

kreuzkruzifix

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vielen vielen Dank für die schnellen Antowrten!
Hab noch ne wichtige Frage:
Und zwar bei dem Beispiel mit den Intervallen. Da können die Intervalle ja so aussehen $\begin{eqnarray*} (x-\epsilon,x+\epsilon), \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Dann könnte ich für $\begin{eqnarray*} \epsilon =1,2,...\in N \end{eqnarray*}$ auch einsetzen?
Warum schreibt mein Prof: "Es reichen sogar schon Umgebungen mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?" Das sogar schon verstehe ich nicht.

23.10.2011, 19:22

pseudo-nym

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Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Und zwar bei dem Beispiel mit den Intervallen. Da können die Intervalle ja so aussehen $\begin{eqnarray*} (x-\epsilon,x+\epsilon), \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Dann könnte ich für $\begin{eqnarray*} \epsilon =1,2,...\in N \end{eqnarray*}$ auch einsetzen?

Natürlich kannst du das machen, aber was willst du damit erreichen?
Falls die Frage darauf abzielt, ob $\begin{eqnarray*} V = \{ (x- \epsilon, x + \epsilon ) : \epsilon \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ eine Umgebungsbasis ist, würde ich vorschlagen $\begin{eqnarray*} \left(x- \frac 12,x+ \frac 12 \right) \in \mathcal U(x) \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Zitat:

Original von kreuzkruzifix
Warum schreibt mein Prof: "Es reichen sogar schon Umgebungen mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?"

Ich denke das ist mehr oder weniger äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} W = \{ (x- \frac 1n, x + \frac 1n ) : n \in \mathbb N \} \subseteq \{ (x- \epsilon, x + \epsilon ) : \epsilon \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ und W ist eine Umgebungsbasis.

Nicht jede Teilmenge einer Umgebungsbasis ist wieder eine Umgebungsbasis. Hier ist das allerdings so.

23.10.2011, 21:02

kreuzkruzifix

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Vielen vielen Dank für deine geduldigen Antworten!

Also gegeben ist:
1. $\begin{eqnarray*} V={(x-\epsilon,x+\epsilon)|\epsilon \in N} \end{eqnarray*}$
Prüfe, ob es eine Umgebungsbasis ist:
1a. Wähle als Umgebung $\begin{eqnarray*} U=(x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})\in U(X) \end{eqnarray*}$
1b. Da $\begin{eqnarray*} V\not \subset U \end{eqnarray*}$ habe ich mit V keine Umgebungsbasis vorliegen.
Richtig?
2.. $\begin{eqnarray*} V={(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})|n \in N} \end{eqnarray*}$
Prüfe, ob es eine Umgebungsbasis ist:
2a. Wähle als Umgebung $\begin{eqnarray*} U=(x-3,x+5)\in U(X) \end{eqnarray*}$
2b. Da $\begin{eqnarray*} V \subset U \end{eqnarray*}$ habe ich mit V eine Umgebungsbasis vorliegen.

Was meintest du damit, dass bei einer Umgebungsbasis dies für alle U möglich sein muss.Wär nett, wenn du es mir an diesem konkreten Beispiel erklären würdest, sonst blick ich das wieder mal nicht.

DANKE!

23.10.2011, 21:09

pseudo-nym

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Zitat:

Original von kreuzkruzifix
1b. Da $\begin{eqnarray*} V\not \subset U \end{eqnarray*}$ habe ich mit V keine Umgebungsbasis vorliegen.
Richtig?

Nein, das ist nicht zu zeigen. Zu zeigen ist folgendes
$\begin{eqnarray*} \forall A \in V : A \nsubseteq U \end{eqnarray*}$

Bei deinem zweiten Vorgehen gibt es ein ähnliches Problem. Du hast nicht gezeigt dass eine Umgebungsbasis vorliegt. Um das zu zeigen musst du dir ein beliebiges U vorgeben und dann zeigen, dass es ein Element aus der Umgebungsbasis gibt welches in U enthalten ist. (Beachte dazu, dass die Stadardtopologie von einer Metrik induziert wird.)

23.10.2011, 21:22

kreuzkruzifix

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das kann ich beides nicht... kannst du mir das zeigen? Bitte

23.10.2011, 21:26

pseudo-nym

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I can only show you the door. You're the one that has to walk through it.

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