Lineare Unabhängigkeit

22.10.2011, 12:32

Alive-and-well

Lineare Unabhängigkeit

Seien $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
Sind dann auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{\vec{a} +2\vec{b} , \vec{a} +\vec{b} +\vec{c} , \vec{a} -\vec{b} -\vec{c}\} \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig.

Ich weiß nicht so genau wie ich das zeigen soll. ICh kenne die definition der linearen unabhängigkeit.

Ich habe das ganze als gleichungsystem geschrieben aber das hilft mir nicht wirklich weiter.

22.10.2011, 12:54

mYthos

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Stelle einen der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dar:

$\begin{eqnarray*} a + b + c = r(a + 2b) + s(a - b - c) \end{eqnarray*}$ ; r,s .. reelle Multiplikatoren

und überprüfe, ob das durch Vergleich der Multiplikatoren entstehende LGS nach r, s lösbar ist!

Tipp: Multipliziere aus, ordne nach a und b, klammere aus und vergleiche jeweils die Multiplikatoren!

mY+

22.10.2011, 13:46

Alive-and-well

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also so:

a+b+c = x(a+2b)+y(a-b-c) = xa-ya+2xb-yb-yc = a(x-y)+b(2x-y)-yc

=> y = -1 => x = 0

=> linear abhängig

22.10.2011, 15:03

Alive-and-well

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kleine korrektur:
$\begin{eqnarray*} a+b+c = x(a+2b)+y(a-b-c) = xa-ya+2xb-yb-yc = a(x+y)+b(2x-y)-yc \end{eqnarray*}$

=> y = -1 => x = 2 => wiederspruch

=> linear unabhängig

22.10.2011, 22:15

mYthos

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Du hast leider falsch gerechnet (Vorzeichenfehler), aber dennoch sollten diese drei Vektoren lin. unabhängig sein.

Und sagen wir lieber: Widerspruch (ohne ie)

Ausserdem stellt y = -1 und x = 2 noch lange keinen Widerspruch dar. Kannst du erklären, woraus sich dabei ein Widerspruch ergeben hat?

mY+

23.10.2011, 08:41

Alive-and-well

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ich hatte ja 3 gleichungen mit 2 unbekannten,

aus zwei dieser Gleichungen hat sich ergeben: y=-1, x = 2 die beiden zaheln waren aber keine Lösung für dei dritte Gleichung => Widerspruch!

23.10.2011, 09:40

mYthos

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Ja, so stimmt's jetzt. smile

Ist dir nun alles klar?

mY+

23.10.2011, 09:43

Alive-and-well

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ja, alles bestens Augenzwinkern

23.10.2011, 09:50

mYthos

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Mit dem Vorzeichenfehler habe ich gemeint:

Zitat:

Original von Alive-and-well
kleine korrektur:
$\begin{eqnarray*} a+b+c = x(a+2b)+y(a-b-c) = xa-ya+ \ldots \end{eqnarray*}$
...

Dort muss .. +ya stehen. Offensichtlich hast du dich nur verschrieben, denn nachfolgend stimmt es wieder.

mY+

23.10.2011, 10:13

Alive-and-well

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ja das war nur ein Schreibfehler:

ich habe noch eine Aufgabe gerechnet:
Sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} { a+7c ; -2a-b ; b-c} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Dazu:
$\begin{eqnarray*} b-c = x((a+7c) + y(-2a-b) = a(x-2y)-yb+c(7x) \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} x = -\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-2y = 0 \end{eqnarray*}$ (Wiederspruch!)

Was ich nur komisch finde ist, dass ich gar nicht genutzt habe, dass a,b und c schon linear unabhängig sind.

23.10.2011, 11:15

mYthos

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Jetzt schreibst schon wieder: Wiederspruch! Richtig ist aber: Widerspruch (!) Wider --> (Da)gegen Big Laugh

______________

Dass die Vektoren a, b, c bereits in der Angabe linear unabhängig sein müssen, liegt auf der Hand.
Denn wären sie das nicht, könnte man c beispielsweise durch r*a + s*b (r, a konst.) ersetzen. Automatisch wären dann auch die 3 Linearkombinationen in der Angabe linear abhängig. Das kann man durch eine kurze allgemeine Rechnung zeigen.

mY+

23.10.2011, 13:27

Alive-and-well

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ah OK dank dir!

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