Produkt-Sigma-Algebra

22.10.2011, 12:43

Gast11022013

Produkt-Sigma-Algebra

Meine Frage:
Ich würde gerne unsere Definition einer Produkt-Sigma-Algebra an einem Beispiel ausprobieren.

Zunächst zu unserer Definition:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ein kartesisches Produkt von Mengen $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \Omega=\prod_{i\in I} E_i \end{eqnarray*}$ für eine Indexmenge $\begin{eqnarray*} I\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} X_i:\Omega\to E_i \end{eqnarray*}$ die Projektion auf die i-te Koordinate, und

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{X_i^{-1}A_i:i\in I,A_i\in\mathcal{E}_i\right\} \end{eqnarray*}$

das System aller Mengen in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch ein Ereignis in

einer einzelnen Koordinate bestimmt sind.

Dann heißt $\begin{eqnarray*} \otimes_{i\in I}\mathcal{E}_i:=\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$

die Produkt-Sigma-Algebra der $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Nun wollte ich diese doch sehr technische Definition mal an einem Beispiel "austesten".

Beispiel zu der Definition:

Dazu habe ich mir überlegt, den 3-fachen Münzwurf als Beispiel zu nehmen.

Meine Ideen:
Wenn ich das korrekt verstanden habe, so hat man bei diesem Beispiel dann Folgendes:

(1) $\begin{eqnarray*} \Omega=\prod_{i=1}^{3}E_i=\left\{0,1\right\}^3 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} E_1=E_2=E_3=\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_1=\mathcal{E}_2=\mathcal{E}_3=\mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right)=\left\{\emptyset,\left\{0,1\right\},\left\{0\right\},\left\{1\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

Edit 1-7:

Im Grunde muß ich ja nur die Urbilder der Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$ unter den Abbildungen $\begin{eqnarray*} X_i:\Omega\to E_i , i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ aufschreiben.

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{1\right\}\right)=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2^{-1}\left(\left\{1\right\}\right)=(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_3^{-1}\left(\left\{1\right\}\right)=(1,1,1),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)=(0,1,1),(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)=(0,0,0),(1,0,1),(0,0,1),(1,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_3^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)=(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0) \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich weiß schonmal, daß diese Elemente alle in $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ enthalten sind, oder?

Aber was sind denn

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2^{-1}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_3^{-1}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Sind das nicht alle bereits aufgeführten Elemente (an der jeweiligen Stelle kann, wenn ich das richtig verstehe, nämlich eine 1 oder eine 0 stehen)?

Und was

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\emptyset\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2^{-1}\left(\emptyset\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_3^{-1}\left(\emptyset\right) \end{eqnarray*}$ ?

Ist das jeweils die leere Menge?

Ist also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1),(0,0,0)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

[Sorry für das viele Editieren.]

22.10.2011, 20:23

Michael1956

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ 8 Elemente beinhaltet, sieht für mich schonmal gut aus: Ein Erzeugendensystem einer Sigma-Algebra sollte mindestens alle möglichen Ergebnisse enthalten und das sind hier nach meinem Empfinden

$\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ Dreier-Tupel.

Ich würde daher sagen: Freude

Andere Nutzer dieses Forums können und sollen mich bitte gegebenenfalls verbessern oder ein bisschen detailierter als ich bestätigen, dass der Fragesteller richtig liegt.

Schönes Wochenende noch!

Der Michi

22.10.2011, 23:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal gut, daß ich schonmal eine positive Reaktion habe.

Ich will nicht wieder das Drängeln anfangen, drum sage ich nur mal ganz dezent, daß ich mich über weitere Reaktionen freuen würde.

Produkt-Sigma-Algebren sind einfach nicht mein Lieblingsthema und daher wäre es gut zu wissen, wie ich das Beispiel umgesetzt habe.

Wink

27.10.2011, 15:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich nochmal fragen, ob sich noch jemand meinen ersten Beitrag in diesem Thread ansehen würde?

Habe ich das Beispiel richtig umgesetzt und damit anscheinend begriffen, was eine Produkt-Sigma-Algebra ist?

Danke für jede Mühe! Wink

30.10.2011, 23:50

Zündholz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{1\right\}\right)=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0) \end{eqnarray*}$
usw.

Hier musst du aufpassen das Urbild ist eine Menge. Aber ich denke das war eher Copy und Paste Fehler? Also mit Mengenklammern außen rum passt das.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{0,1\right\}\right) \end{eqnarray*}$
usw.
Sind das nicht alle bereits aufgeführten Elemente (an der jeweiligen Stelle kann, wenn ich das richtig verstehe, nämlich eine 1 oder eine 0 stehen)?

Ja (falls ich deine Antwort/ Frage richtig verstehe).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\emptyset\right) \end{eqnarray*}$
usw.
Ist das jeweils die leere Menge?

Ja, denn nach Definition wäre das ja die Menge der Elemente die auf kein Element abgebildet werden und das trifft auf kein Element zu.

Zitat:

Ist also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1),(0,0,0)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, dass leider nicht. Erstmal ist ein Erzeuger ja immer ein Mengensystem. Dieses enthält nun alle Mengen die du oben aufgeführt hast.

31.10.2011, 06:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra

Zitat:

Original von Zündholz

Zitat:

Ist also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1),(0,0,0)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, dass leider nicht. Erstmal ist ein Erzeuger ja immer ein Mengensystem. Dieses enthält nun alle Mengen die du oben aufgeführt hast.

Also Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{\underbrace{\left\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)\right\}}_{X_1^{-1}\left(\left\{1\right\}\right)},X_2^{-1}\left(\left\{1\right\}\right),X_3^{-1}\left(\left\{1\right\}\right),X_1^{-1}\left(\left\{0\right\}\right),X_2^{-1}\left(\left\{0\right\}\right),X_3^{-1}\left(\left\{0\right\}\right)\right\} \end{eqnarray*}$ ,

wobei ich $\begin{eqnarray*} X_1^{-1}\left(\left\{1\right\}\right) \end{eqnarray*}$ mal exemplarisch ausgeschrieben habe und die Mengenklammern ergänzt habe.

Habe ich das so korrekt verstanden?

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ sind also wiederum Mengen?

31.10.2011, 10:14

Zündholz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra
Ja.
Nur das noch die Urbilder der leeren Menge und des ganzen Raumes fehlen. Aber sonst ist so ok.

31.10.2011, 11:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra
Das bedeutet also, daß ich auch noch

$\begin{eqnarray*} X_i^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$

(also $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} X_i^{-1}(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ )

und $\begin{eqnarray*} X_i^{-1}\left(\left\{E_i\right\}\right), i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ ,

(also $\begin{eqnarray*} X_i^{-1}\left(\left\{0,1\right\}\right), i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ )

[Für $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ heißt das zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \left\{(0,0,0),(0,1,1),(0,0,1),(0,1,0),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0)\right\} \end{eqnarray*}$ .]

zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ hinzufügen muss?

Habe ich Dich da richtig verstanden?

31.10.2011, 13:57

Zündholz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra
Ja,
ich würde es aber der Übersicht halber (was natürlich Geschmackssache ist) so schreiben:
Für $\begin{eqnarray*} A \times B := \{(a,b):\ a \in A, b \in B\} \end{eqnarray*}$ und den Fall von zwei Mengen wäre G:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{G} = \{\emptyset, \{0\}\times E_2,\{1\}\times E_2,E_1 \times\{0\},E_1 \times\{1\},E_1 \times E_2\} \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 14:00

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt-Sigma-Algebra
Allerbesten Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Produkt-Sigma-Algebra

Verwandte Themen