Beweis: Cauchy - Schwarz Ungleichung (Induktion von Summen)

22.10.2011, 13:44

breezy

Beweis: Cauchy - Schwarz Ungleichung (Induktion von Summen)

Meine Frage:
huhu,

habe meine erste Hausübung bekommen und bin regelrecht am verzweifeln, einiges hab ich schon selbst hinbekommen aber ich habe keine Ahnung, ob ich überhaupt ansatzweise in die richtige richtung gehe.

Hier meine Aufgabe:

Beweisen sie foglende Aussage für alle reele Zahlen:
$\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} , ... x_{n}, y_{1} , y_{2} , ... y_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k}^{2} = \sum\limits_{k=1}^n y_{k}^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

dann folgt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k}y_{k} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hier meine bisherige Vorgehensweise für die Gleichung:

Induktionsanfang n=1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{k}^{2}-1 = x_{1}^2 -1 = y_{1}^2 -1 = \sum\limits_{k=1}^1 y_{k}^2 -1 \end{eqnarray*}$
Damit wäre der Induktionsanfang fertig. Habe ich jetzt auch automatisch dies bewiesen?

Induktionsschritt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 x_{k}^2 -1 = x_{k}^2 +x_{n+1}^2 -1 =y_{k}^2 + y_{n+1}^2 -1 = \sum\limits_{k=1}^n+1 y_{k}^2 -1 \end{eqnarray*}$

Frage 2 : Dies ist mein Induktionsschritt, gleiche vorgehensweise wie beim Induktionssanfang. Ist hiermit die Gleichung fertig bewiesen?

habe jetzt die ungleichung auch mit dem induktionsverfahren "bearbeitet".

Ergebnis: (Induktionsanfang lasse ich jetzt einfach mal weg sollte ja klar sein)

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 x_{k}y_{k} + x_{n+1}y_{n+1} \leq \sum\limits_{k=1}^n+1 y_{k}^2 + y_{n+1}^2 = \sum\limits_{k=1}^n+1 x_{k}^2 + x_{n+1}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Frage 3 : wieder die gleiche frage. habe ich hiermit was bewiesen? bin ich fertig?

lg sven smile

22.10.2011, 14:11

system-agent

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Um ehrlich zu sein, verstehe ich absolut nicht was du hier tust. Ich glaube auch, dass du die Aufgabe nicht verstehst.

Angenommen wir haben $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n,y_1,...,y_n \end{eqnarray*}$ und wir nehmen zusätzlich an, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^nx_k^2=1=\sum\limits_{k=1}^ny_k^2 \end{eqnarray*}$ [das heisst das muss natürlich nicht bewiesen werden].

Nun kommt die Aufgabe:
Zeige, dass unter diesen Umständen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^nx_ky_k\leq1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Versuche zuerst einmal den Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ . Dasselbe Verfahren klappt auch für den Allgemeinfall.
Für also den Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ betrachte $\begin{eqnarray*} 0\leq(x_1-y_1)^2=? \end{eqnarray*}$ .

Das ist dann aber natürlich kein Induktionsbeweis. Musst du das denn unbedingt mit einer Induktion machen? [steht nichts davon in deinem Zitat der Aufgabenstellung]

22.10.2011, 14:55

breezy

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hey. danke dir schonmal smile

dass ich die aufgabe nicht verstehe kann gut sein, da die ganze materie noch neu für mich ist (1. semester). von induktion steht nichts in der aufgabenstellung, dachte nur dass dies bei summenzeichen sinvoll wäre. ich glaub ich stehe einfach absolut auf dem schlauch... unglücklich

für den fall n=1 erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}y_{1} \leq 1 \end{eqnarray*}$

für
$\begin{eqnarray*} 0 \leq ( x_{1} - y_{1} )^2 = ? \end{eqnarray*}$

wenn ich den binom ausmultipliziere: (nehme an der kommt aus der Gleichung?!)

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x_{1}^2 - 2x_{1}y_{1} + y_{1}^2 \leq 2 \end{eqnarray*}$

wobei ja für $\begin{eqnarray*} x_{1}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{1}^2 \end{eqnarray*}$ die summen 1 ergeben weil sie dies ja auch für $\begin{eqnarray*} x_{k}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{k}^2 \end{eqnarray*}$ tuen.
und $\begin{eqnarray*} 2x_{1}y_{1} \leq 2 \end{eqnarray*}$ sein müssten

22.10.2011, 15:36

system-agent

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Das ist ziemlicher Unsinn was du hier schreibst.
Du darfst doch nicht die Behauptung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^nx_ky_k\leq1 \end{eqnarray*}$ benutzen um gerade die Behauptung zu zeigen unglücklich

.

Also mal für den Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ :
Du hast zwei reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,y_1 \end{eqnarray*}$ und du weisst, dass $\begin{eqnarray*} x_1^2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1^2=1 \end{eqnarray*}$ gilt (*). Dann musst du zeigen, dass in diesem Fall auch $\begin{eqnarray*} x_1y_1\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Um das zu tun drehe ein bischen am Ansatz $\begin{eqnarray*} 0\leq(x_1-y_1)^2=? \end{eqnarray*}$ herum. Ausmultiplizieren ist jedenfalls eine gute Idee und die Voraussetzungen bei (*) musst du natürlich auch irgendwie benutzen.

22.10.2011, 15:54

breezy

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wenn ich den ansatz ausmultipliziere und die vorraussetzungen einsetze krieg ich immernoch $\begin{eqnarray*} 2x_{1}y_{1} \leq 2 \end{eqnarray*}$ raus, das kann ich dann ja mit 1/2 multiplizieren und kriege $\begin{eqnarray*} x_{1}y_{1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ . damit stehe ich aber immernoch so da wie vorher und hab die behauptung mit der behauptung bewiesen.

woher kommt dein ansatz? von der ungleichung oder der gleichung?

22.10.2011, 16:03

system-agent

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Falsch, dann hast du lediglich benutzt, dass $\begin{eqnarray*} x_1^2=y_1^2=1 \end{eqnarray*}$ gilt [was gegeben war] und die tatsache, dass ein Quadrat immer nichtnegativ ist. Anders gesagt, du hast die behauptete Ungleichung $\begin{eqnarray*} x_1y_1\leq1 \end{eqnarray*}$ aus diesen beiden Tatsachen gefolgert und daher hast du sie bewiesen.

So, und auf diese Art und Weise kannst du nun analog den allgemeinen Fall beweisen.

Woher der Ansatz kommt? Von scharf hinsehen Augenzwinkern

22.10.2011, 17:28

breezy

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okay, lieben dank smile

ich rechne es dann heute abend/nacht noch für den allgemeinen fall durch (der allgemeine fall müsste ja n= n+1 sein?), und stelle es dann nochmal online.
vielen dank nochmals, wäre ansonsten total verloren gewesen smile

22.10.2011, 17:38

system-agent

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Zitat:

Original von breezy
(der allgemeine fall müsste ja n= n+1 sein?)

Nein. Der allgemeine Fall ist für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

22.10.2011, 22:10

breezy

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so hier mein endgültiger beweis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}y_{1} \leq 1 , \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}^2 = 1 = \sum\limits_{k=1}^1 y_{1}^2 \end{eqnarray*}$

Beweis für N=1
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2x_{1}y_{1} \leq 2 , x_{1}^2 + y_{1}^2 = 2<br /> \Rightarrow 2x_{1}y_{1} \leq x_{1}^2 + y_{1}^2<br /> \Rightarrow 0 \leq x_{1}^2 - 2x_{1}y_{1} + y_{1}^2<br /> \Rightarrow -2 \leq -2x_{1}y_{1}<br /> \Rightarrow 1 \geq x_{1}y_{1} \end{eqnarray*}$
q.e.d.

hab noch ein paar zwischenschritte drinne wie z.B. dass die x² und y² zu 1 werden die addiert 2 ergeben.

analog verläuft das für n=n weil das n ja eh immer im index steht...

hoffe das stimmt so nun smile

lg sven und nochmal vielen dank für deine mühe smile

23.10.2011, 09:39

system-agent

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So wie es dasteht ist es wieder Unsinn.

Zitat:

Original von breezy
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}y_{1} \leq 1 , \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}^2 = 1 = \sum\limits_{k=1}^1 y_{1}^2 \end{eqnarray*}$

Diese erste Summe, diese ist keine Voraussetzung, genau diese musst du aus den hinteren beiden Gleichheiten folgern !

Zitat:

Original von breezy
analog verläuft das für n=n weil das n ja eh immer im index steht...

Das verstehe wer will.

Nochmals die Aufgabe: Jemand hat dir die Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n,y_1,...,y_n \end{eqnarray*}$ gegeben und du weisst, dass diese Zahlen $\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{k=1}^n x_{k}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{k=1}^n y_{k}^2 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Nun musst du irgendeinen logischen Grund dafür finden, dass ebenfalls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^nx_ky_k\leq1 \end{eqnarray*}$ zu gelten hat.

Genau diese logische Folgerungskette [=der Beweis] steht bei dir nirgends.

Um eine Idee für diese Folgerung zu geben, habe ich dir geraten einfach mal den Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Dort helfen die binomischen Formeln. Und wenn du das dann genauer anschaust, dann führt dieselbe Idee im allgemeinen Fall ebenfalls zum Ziel [das ist aber trotzdem keine Induktion].

23.10.2011, 10:15

Shalec

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es scheint so, als hätte breezy noch nicht so den Durchblick wie eine Induktion überhaupt funktioniert.

Bauen wir also mal klein auf - sodass die Induktion und der Sinn davon sitzt:

Behauptung : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Der Beweis ist mittels Induktion machbar.

Ein möglicher "Pfad" für den Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung ist hier zu finden:
Beweis Cauchy Schwarz Jedoch muss ich dazu sagen, dieser ist - so wie er dort steht - falsch. Die wahl von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ging daneben Augenzwinkern

das, was du dazu wissen musst ist: Definition des Skalarproduktes und der 2-Norm, oft wird die 2-Norm auch einfach als Norm bezeichnet und z.B. zur Normalisierung in der Linearen Algebra oder bei einigen Beweisen der Analysis verwendet.

hinweis: $\begin{eqnarray*} <x,x>=x_1^2+...+x_n^2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}^2= || x ||_2^2 \end{eqnarray*}$

@System-agent nicht, dass ich mich in deiner hilfestellung einmischen wollte, aber mir scheint es so, als würde ihm das Grundverständnis fehlen. Daher mal eine kleine Einführungsaufgabe um das Prinzip der Induktion zu klären. Der Beweis über Induktion scheint mir aber fraglich - vom Aufwand her..

Habe hier noch eine auf den ersten Blick gut scheinende Seite entdeckt:
Vollständige Induktion - Übung und Anleitung

Liebe Grüße,
Shalec

23.10.2011, 16:09

breezy

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okay ich glaube der groschen ist endlich gefallen. diesesmal endgültig ohne das zu beweisende benutzt zu haben^^

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}^2 = 1 = \sum\limits_{k=1}^1 y_{1}^2 \end{eqnarray*}$

hier erstmal der beweis beginnend mit deinem ansatz ("zusammenbasteln" vom ansatz folgt)

$\begin{eqnarray*} (x_{1} - y_{1})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^2 - 2x_{1}y_{1} + y_{1}^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 - 2x_{1}y_{1} + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -2x_{1}y_{1} \geq -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}y_{1} \leq 1 q.e.d. \end{eqnarray*}$

so nun zum "zusammenbasteln" von deinem Ansatz $\begin{eqnarray*} (x_{1} - y_{1})^2 \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} x_{1}^2 = 1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{1} = 1 = x_{1}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}^2 + y_{1}^2 = 2x_{1}y_{1} \end{eqnarray*}$ weil 1+1 = 2 und 2*1 = 2

$\begin{eqnarray*} x_{1}^2 - 2x_{1}y_{1} + y_{1}^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_{1} - y_{1})^2 = 0 \end{eqnarray*}$

soweit alles klar bei mir nur wieso wirds zur ungleichung dann... nehme an das hat iwas mit den quadraten und wurzeln zu tun?

lg sven

23.10.2011, 17:19

system-agent

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Zitat:

Original von breezy
okay ich glaube der groschen ist endlich gefallen. diesesmal endgültig ohne das zu beweisende benutzt zu haben^^

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 x_{1}^2 = 1 = \sum\limits_{k=1}^1 y_{1}^2 \end{eqnarray*}$

hier erstmal der beweis beginnend mit deinem ansatz ("zusammenbasteln" vom ansatz folgt)

$\begin{eqnarray*} (x_{1} - y_{1})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^2 - 2x_{1}y_{1} + y_{1}^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 - 2x_{1}y_{1} + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -2x_{1}y_{1} \geq -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}y_{1} \leq 1 q.e.d. \end{eqnarray*}$

Perfekt

Zitat:

Original von breezy
so nun zum "zusammenbasteln" von deinem Ansatz $\begin{eqnarray*} (x_{1} - y_{1})^2 \end{eqnarray*}$

Es ist einfach ein nicht ganz selten gebrauchter Trick die binomische Formeln zu nutzen - und an das habe ich mich erinnert Augenzwinkern

. Sprich ich kenne einfach die folgede Aussage:
Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2ab\leq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: $\begin{eqnarray*} 0\leq(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Natürlich, im Falle $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ in deiner Aufgabe folgt tatsächlich $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ und ähnlich für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und daher könnte man die Ungleichung auch direkt nachrechnen. Es ist aber im Allgemeinen wirklich eine Ungleichung, denn zb für $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1=1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} -1=x_1y_1\leq1 \end{eqnarray*}$ .

23.10.2011, 17:25

breezy

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jippie yeah. danke nochmal, für die ganze mühe smile

war schon ne schwere geburt mit mir^^

lg sven

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