2 Funktionen Bijektiv, dann ist deren Komposition auch Bijektiv

22.10.2011, 14:48

HolunderTee

2 Funktionen Bijektiv, dann ist deren Komposition auch Bijektiv

Meine Frage:
Hi zusammen

Eine aktuelle Aufgabe lautet wie folgt:

f: A -> B

g: B -> C

Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch g°f bijektiv.

Meine Ideen:
Ich bin nun folgenden Weg gegangen:

(a) f und g sind surjektiv -> g°f ist surjektiv
(b) f und g sind injektiv -> g°f ist injektiv

Wenn ich nun (a) und (b) beweisen kann, dann gilt, dass g°f bijektiv ist, wenn f und g injektiv sowie surjektiv sind.

Ich habe (a) und (b) auf Papier bewiesen, aber ich bin wirklich nicht sicher ob dieser Weg korrekt ist.

Meine simple Frage nun: ist dies der korrekte Weg um dies anzugehen?

22.10.2011, 14:58

Mulder

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RE: 2 Funktionen Bijektiv, dann ist deren Komposition auch Bijektiv

Zitat:

Original von HolunderTee
Ich habe (a) und (b) auf Papier bewiesen, aber ich bin wirklich nicht sicher ob dieser Weg korrekt ist.

Gegebenenfalls kannst du deinen Beweis ja eben vorstellen. Aber prinzipiell macht man das so, ja.

22.10.2011, 15:21

HolunderTee

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Hi Mulder

Danke für die schnelle Antwort.

Mein Beweis sieht wie folgt aus:

(1) $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ injektiv \shortrightarrow $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ injektiv

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} x = y \shortrightarrow f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = f(x), z = f(y) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} w, z \in B \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} w = z \shortrightarrow g(w) = g(z) \end{eqnarray*}$

w resp. z mit f(x) resp. f(y) ersetzen, dann gilt

$\begin{eqnarray*} x = y \shortrightarrow g(f(x)) = g(f(y)) \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ injektiv

(2) $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ surjektiv \shortrightarrow $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ surjektiv

f surjektiv bedeutet, $\begin{eqnarray*} \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \end{eqnarray*}$
g surjketiv bedeutet, $\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists b \in B: g(b) = c \end{eqnarray*}$

Nun kann man b = f(a) einsetzen, also:
$\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists b \in B: g(f(a)) = c \end{eqnarray*}$

Also muss $\begin{eqnarray*} \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \end{eqnarray*}$ gelten.

Daraus folgt schlussendlich, dass es $\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists a \in A: g(f(a)) = c \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt so?

22.10.2011, 15:24

HolunderTee

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Sorry, meine letzte Antwort enthielt ungültige Tex Syntax. Hab's korrigiert:

(1) $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ injektiv \rightarrow $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ injektiv

$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} x = y \rightarrow f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = f(x), z = f(y) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} w, z \in B \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} w = z \rightarrow g(w) = g(z) \end{eqnarray*}$

w resp. z mit f(x) resp. f(y) ersetzen, dann gilt

$\begin{eqnarray*} x = y \rightarrow g(f(x)) = g(f(y)) \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ injektiv

(2) $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ surjektiv \rightarrow $\begin{eqnarray*} g \textdegree f \end{eqnarray*}$ surjektiv

f surjektiv bedeutet, $\begin{eqnarray*} \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \end{eqnarray*}$
g surjketiv bedeutet, $\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists b \in B: g(b) = c \end{eqnarray*}$

Nun kann man b = f(a) einsetzen, also:
$\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists b \in B: g(f(a)) = c \end{eqnarray*}$

Also muss $\begin{eqnarray*} \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \end{eqnarray*}$ gelten.

Daraus folgt schlussendlich, dass es $\begin{eqnarray*} \forall c \in C \exists a \in A: g(f(a)) = c \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt so?

22.10.2011, 15:32

Mulder

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Zitat:

Original von HolunderTee
$\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} x = y \rightarrow f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

Das gilt grundsätzlich für alle Abbildungen. Denn wie sollte eine Abbildung ein und dasselbe Element des Definitionsbereiches auf zwei verschiedene Bildelemente abbilden?

Injektivität ist doch gerade die Gegenrichtung:

Aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

DANN ist f injektiv.

Im übrigens sind das ganz schön viele verschiedene Buchstaben...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Surjektivität ist soweit okay.

22.10.2011, 15:49

HolunderTee

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Hi Mulder

Vielen Dank.

Jep stimmt natürlich, hab ich falsch aufgeschrieben!

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