DeMorgan'sche Regeln - Beweis

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22.10.2011, 15:18	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
DeMorgan'sche Regeln - Beweis Hallo! Die Aufgabe ist, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \end{eqnarray}$ . Aufgrund anderer Threads hab ich mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} x \in (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)^c \Rightarrow \exists A_i^c: x \in A_i^c \Rightarrow x \notin A_i \Rightarrow x \notin \bigcap_{i=1}^\infty A_i \Rightarrow x \in \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \end{eqnarray}$ Ich bin mir nur beim letzten Schritt nicht sicher, ob der zulässig ist? Danke für Kommentare.
22.10.2011, 16:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass der erste Schritt zielführend ist. Nimm z.B. $\begin{eqnarray} A_i=[0,1-\frac 1 {i+1}]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x=\frac 3 4 \notin A_1=[0, \frac 1 2] \end{eqnarray}$ , aber dieses x ist auch nicht im Komplement der Vereinigung.
22.10.2011, 16:22	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ja aber die Mengen $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ sind ja disjunkt. Das heißt doch, wenn ein x nicht in $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist, muss es in $\begin{eqnarray} A_i^c \end{eqnarray}$ sein? Außerdem besagt doch der erste Schritt, dass das x im Komplement der Vereinigungen von $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist, was heißt, dass es nicht in der Vereinigung der $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist, und somit in einem $\begin{eqnarray} A_i^c \end{eqnarray}$ liegen muss?
22.10.2011, 17:37	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein erster Schritt lässt aber folgendes zu: du wählst ein Element aus dem Komplement der Vereinigungen.. so, d.h. es liegt nicht in der Vereinigung deiner Mengen. nun ist aber durchaus zulässig, dass $\begin{eqnarray} A_i=A_k^C \ \text{für ein } k\neq i \end{eqnarray}$ Damit kannst du eben nicht allgemein folgern, dass wenn dein x nicht inner vereinigung von mengen liegt, dass es dann in einem der komplement der Mengen liegen muss, da die vereinigten Mengen durchaus komplemente voneinander darstellen dürfen. Das soll heißen, dass dein gewähltes x in einem Komplement UND in einem Komplement vom Komplement stecken kann.. daher nicht ratsam. (wenn das hier totaler schwachfug ist, bitte ich um aufklärung ) vlt über induktion lösbar?! ich mach mir mal ne lösungsskizze
22.10.2011, 18:42	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, danke für die Erklärung. Induktion? Also ich zeige $\begin{eqnarray} (A_1 \cup A_2)^c = A_1^c \cap A_2^c \end{eqnarray}$ , behaupte $\begin{eqnarray} ( \bigcup_{i=1}^n A_i)^c = \bigcap_{i=1}^n A_i^c \end{eqnarray}$ und schließe $\begin{eqnarray} A_n \cup (\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)^c \end{eqnarray}$ ?
22.10.2011, 18:49	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
von n auf n+1 du hast hier n auf n-1 geschrieben, vermutlich ein Tippfehler. Das Problem hier ist, wenn du nicht auch gleichzeitig den Limes für n to infty betrachtest, haste das ja nur für endliche vereinigungen gezeigt. (wäre so meine Idee gewesen, auf anhieb. habe die regeln selber auch noch nie bewiesen..)
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22.10.2011, 19:14	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das n-1 ist Absicht, denn ich soll es ja für n zeigen und nicht für n+1. Ohje. Ist denn $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty \end{eqnarray}$ nicht äquivalent? Ich kann das n ja beliebig groß machen. Bilde mir ein, da irgendso'n Axiom gesehen zu haben. Wie sollte ich denn da den Grenzwert berechnen?
22.10.2011, 19:44	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
formal ändert sich nix. $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} \bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i \end{eqnarray}$ btw. unendliche vereinigung endlicher partialvereinigungen könnte hier helfen ^^ Damit sagst du nur, dass du dich dem unendlichen annäherst, da das unendliche keine wirkliche Zahl ist. es ist eher eine Idee davon, sich etwas nur nahbares greifen zu können um diese abstrakte ferne zu beobachten und zu analysieren. ich erhoffe mir ja immernoch eine Zu- oder Nichtzustimmung bzgl. meines Postes am anfang. ich kann aber keine "falsche" stelle erdenken ^^
22.10.2011, 20:32	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde vielleicht das funktionieren? $\begin{eqnarray} x \in (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)^c \Rightarrow x \notin \bigcup_{i=1}^\infty A_i \Rightarrow x \notin A_i \Rightarrow x \in A_i^c \Rightarrow x \in \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \end{eqnarray}$ Wenn ich mir das recht überlege ist der letzte Schritt ja eigentlich komisch: wenn die $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ disjunkt sind, dann muss doch der Durchschnitt immer $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ sein, oder? Und dann kann das x ja gar nicht in $\begin{eqnarray} \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \end{eqnarray}$ sein?
23.10.2011, 10:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist das fast richtig. Du musst nur noch ein bißchen ergänzen, ob Aussagen für alle i, für einige i oder für genau ein i gelten (hier : für alle) : $\begin{eqnarray} x \in (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)^c \Rightarrow x \notin \bigcup_{i=1}^\infty A_i \Rightarrow \forall i: x \notin A_i \Rightarrow \forall i: x \in A_i^c \Rightarrow x \in \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \end{eqnarray}$ Die Mengen sind nicht notwendig disjunkt. Die Regeln von de Morgan gelten für beliebige Mengen. Wenn die Mengen disjunkt sind, ist ihr Durchschnitt leer, aber nicht notwendig der Durchschnitt ihrer Komplemente. Wenn die Grundmenge die disjunkte Vereinigung der Mengen ist, dann ist das Komplement der Vereinigung leer, und es ist der Durchschnitt der Komplemente leer. De Morgan heißt dann : $\begin{eqnarray} x\in \{\} \Rightarrow x\in \{\} \end{eqnarray}$ , und der Beweis funktioniert immer noch.
23.10.2011, 11:20	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Das mit den Komplementen habe ich aber immer noch nicht so genau verstanden (die Mengen sind übrigens schon disjunkt, weil ich das ganze für einen Ereignisraum zeigen soll): Also wenn zwei (oder mehrere) Mengen disjunkt sind, dann bedeutet das ja, dass ein x immer nur in einer Menge sein kann. Deshalb ist der Durchschnitt ja auch immer leer. Aber dass ein x immer nur in einer Menge sein kann, muss doch auch für die Komplemente der Mengen gelten? Also wenn ich zB habe $\begin{eqnarray} A_1, A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ und das x ist in $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ . So wären $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ die Komplemente der Menge $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ . Aber da $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ keine gemeinsamen Elemente haben, kann doch der Durchschnitt der Komplemente von $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ auch nichts als leer sein?
23.10.2011, 12:48	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne dir mal ein großes Viereck auf dem Blatt. In dieses Viereck zeichnest du dann 3 Kreise, mit oder ohne Schnittmengen. Nun benennst du die Kreise mit $\begin{eqnarray} A_1, A_2\ und\ A_3 \end{eqnarray}$ . Das Komplement dieser Mengen ist alles, was jeweils nicht in dem Kreis enthalten ist. (Bildliche Überlegung.. geometrische Motivierung, für Stochastik mehr als ausreichend )
23.10.2011, 12:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm einen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 und setze $\begin{eqnarray} A_i=\{i\} \end{eqnarray}$ . Diese einelementigen Mengen sind disjunkt, ihre Komplemente sind $\begin{eqnarray} A_i^c=\{x\|x\neq i\} \end{eqnarray}$ und enthalten jeweils 5 Elemente, sie sind nicht disjunkt.
23.10.2011, 14:51	Hans_Schaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden, jetzt hat's geklingelt

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