Aufgaben zu Summenzeichen

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22.10.2011, 16:47

Ysnah

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Aufgaben zu Summenzeichen

Kann mir jemand diese Aufgaben lösen?

(siehe Anhang)

Danke =)

22.10.2011, 16:51

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
Wir lösen hier keine Aufgaben, sondern geben Hilfestellung zu Deinem eigenen Lösungsweg.

Siehe Boardprinzip!

Fang' also erstmal selbst an und stelle uns Deine Ideen zur Verfügung!

22.10.2011, 17:17

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
alles klar.

für a) hab ich s1= 4+4+4= 12

ist das richtig?

22.10.2011, 17:23

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen

Zitat:

Original von Ysnah
alles klar.

für a) hab ich s1= 4+4+4= 12

ist das richtig?

22.10.2011, 17:49

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
a) s2= 2+2+2+...+2=2n

s3= k+k+k...+k =kn

s4= 0,6

s5= (2^1)+(2^1)+(2^1)+(2^1)+(2^1)+(2^1)=12

mache diese aufgaben zum ersten mal..kann sein dass es komplett flasch ist..sagt bitte bescheid=)

22.10.2011, 17:53

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
$\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3 \end{eqnarray*}$ sind korrekt!

Der Rest leider nicht.

Tipps:

Schreibe die Summe einfach mal aus! Es sind ja nicht so viele Summanden.

22.10.2011, 18:00

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
zu s4:

geht das nicht so? (1*10^-1)+(1*10^-1)+(1*10^-1)+(1*10^-1)+(1*10^-1)+(1*10^-1) = 0,6?

22.10.2011, 18:02

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
oder ist die antwort: 6i*10^-i

22.10.2011, 18:04

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
Nein, das ist falsch.

Du musst doch von Summand zu Summand den Summationsindex i um eins anheben und einsetzen:

Zuerst ist i=1, dann ist i=2, dann i=3, dann i=4, dann i=5, dann i=6.

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{6}i\cdot 10^{-i}=1\cdot 10^{-1}+2\cdot 10^{-2}+\hdots +6\cdot 10^{-6}=? \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 18:11

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
alles klar:

s4=0,123456

s5= (2^1)+(2^2)+(2^3)+(2^4)+(2^5)+(2^6)= 126

22.10.2011, 18:11

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
Freude

22.10.2011, 18:17

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
wenn i=2 wäre..würde es sich dann immer um 2 erhöhen oder nur bei 2 anfangen und sich dann um eins erhöhen?

22.10.2011, 18:18

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
Es würde bei 2 beginnen und sich wieder jeweils von Summand zu Summand um 1 erhöhen.

Der Wert, der unten bei dem Summenzeichen steht, gibt den Startwert an.
Der Wert oben, bis zu welchem Wert man schrittweise erhöht.

22.10.2011, 18:33

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
alles klar danke...könntest du dir die restlichen auch noch angucken?

b) 3,1415
c) 410
d) (1*x^1)+(2*x^2)+(3*x^3) <---da weiß ich dann nicht weiter, also was man als summe hinschreibt

22.10.2011, 18:46

Gast11022013

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
Alles richtig!

Bei (d) hat man wirklich einfach nur: $\begin{eqnarray*} x+2x^2+3x^3 \end{eqnarray*}$ .

Du hast es also sehr gut verstanden! Freude

23.10.2011, 12:44

Ysnah

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RE: Aufgaben zu Summenzeichen
vielen Dank! könntest du mir noch mit diesen aufgaben helfen? weiß echt nicht wie ich da ran gehen soll!

23.10.2011, 13:07

Gast11022013

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Kann es sein, daß bei Deiner Aufgabe 1.T.5 ein Fehler vorliegt?

Meines Erachtens müsste das so lauten:

$\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{i=0}^{n}q^i \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ hinter dem Summenzeichen.

23.10.2011, 13:09

Ysnah

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kann sein, also du meinst wenn es qn wäre, dann würde die aufgabe aufgehen? wie sieht es mit der ersten aus?

23.10.2011, 13:10

Gast11022013

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Ich meine, wenn da hinter dem Summenzeichen nicht $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ , sondern vielmehr $\begin{eqnarray*} q^i \end{eqnarray*}$ stünde.

Kannst Du das nicht irgendwie kontrollieren?

23.10.2011, 13:11

Ysnah

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sry ja genau..kann ich im moment nicht..aber am dienstag kann ich das machen und sag denn nochmal bescheid=)

23.10.2011, 13:12

Gast11022013

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Ich nehme jedenfalls stark an, daß es so sein muss.

Denn nur dann funktioniert die Induktionsverankerung.
Ansonsten gäbe es schon an dieser Stelle Probleme.

Die erste Aufgabe habe ich noch nicht angesehen.

23.10.2011, 13:20

Ysnah

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alles klar, wäre nett wenn du mal drüber schaust und ein paar anregungen gibst =)

23.10.2011, 13:21

Gast11022013

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In der Zwischenzeit kannst Du Dich ja an der vollständigen Induktion versuchen. Augenzwinkern

23.10.2011, 13:35

Ysnah

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also bei 1.T.5 fängt man doch so an:

sn= (q^0)+(q^1)+(q^2)+...+(q^n)

vorrausgesetzt da ist ein fehler drin..

23.10.2011, 13:38

Gast11022013

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Du sollst doch per vollständiger Induktion zeigen, daß die behauptete Aussage stimmt.

Also beginne mit der Induktionsverankerung.

Dann formulierst Du die Indunktionsvoraussetzung und schließlich führst Du den Induktionsschritt aus.

23.10.2011, 13:45

Ysnah

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jaa hab noch nie davon gehört..wo kann ich das am besten nachlesen wie das geht?

23.10.2011, 13:46

Gast11022013

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Achso! Dir ist "vollständige Induktion" noch gar nicht bekannt. Das wusste ich nicht.

Ich denke, daß Du das Prinzip u.a. bei Wikipedia gut nachlesen kannst und wahlweise natürlich in jedem Standard-Buch der Analysis (Forster, Königsberger,...).

23.10.2011, 14:08

Ysnah

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hab mir das zwar durchgelesen, bringt aber überhaupt nichts..soll ich da sätze hinschreiben und was beweisen oder was wollen die von mir??

23.10.2011, 14:10

Gast11022013

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Vielleicht hilft es Dir, wenn wir das mal an einem Beispiel durchgehen?

23.10.2011, 14:11

Ysnah

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ja das wäre gut..hast du eins?

23.10.2011, 14:14

Gast11022013

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Okay, ich denke, das hier ist für den Anfang ganz gut:

Zeige:

Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\hdots+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Der erste Schritt (Induktionsanfang, manchmal auch Induktionsverankerung genannt) besteht nun darin, daß Du einfach erstmal für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ (das kann bei anderen Aufgaben auch ein anderer Startwert sein, in der Regel probiert man die Behauptung, die man beweisen soll, aber für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ) schaust:

Stimmt die Behauptung für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2011, 14:22

Ysnah

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also n = 1 kann meiner meinung nach nicht stimmen

23.10.2011, 14:24

Gast11022013

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Wieso das?

Setze doch einfach in die Behauptung für n den Wert 1 ein!

Dann hat man doch:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1\cdot (1+1)}{2}=1 \end{eqnarray*}$

und das stimmt doch!

Also gilt die Formel für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .

23.10.2011, 14:27

Ynsah

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achso und was ist mit den anderen zahlen 1+2+3+... die werden ja noch auf n drauf gerechnet und das soll dann 1 ergeben..so hab ich das gesehen.

aber ok das macht auch sinn..und wie wird die antwort nun richtig forumuliert?

23.10.2011, 14:38

Gast11022013

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Achso, so meinst Du das.

Nein, die linke Gleichungsseite ist so zu verstehen, dß man alle Zahlen bis zur Zahl n aufsummiert.

Wenn nun aber n=1 ist, hat man also nur 1.

-----------------------------------------

So, das war nun der Induktionsanfang.

Nun kommen die nächsten Beweisschritte, zuerst die Induktionsvoraussetzung.

Diese lautet: "Die zu beweisende Behauptung gelte nun für die natürliche Zahl n."

Nun musst Du zeigen (indem Du dabei die Induktionsvoraussetzung benützt), daß die Behauptung auch für einen Schritt weiter, also für die natürliche Zahl n+1 gilt. Das heißt, Du musst nun zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\hdots +n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

[Überall, wo vorher n stand, setzt Du nun (n+1) ein und kommst auf diese zu zeigende Behauptung.]

(Das ist der Induktionsschritt von n nach n+1.)

Konkret:

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\hdots +n+(n+1) \end{eqnarray*}$ kannst Du ja (und da benutzt Du nun die Induktionsvoraussetzung, d.h. die Aussage, daß die Behauptung schon bewiesen ist für 1+2+3+...+n) nun auch folgendermaßen sehen:

Das ist die "alte Summe" (also die Summe bis zur Zahl n) und noch ein Summand dazu.

Die alte Summe ist aber nach Induktionsvoraussetzung das Gleiche wie

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{1+2+3+\hdots +n}_{=\frac{n\cdot (n+1)}{2}}+(n+1)=\frac{n\cdot (n+1)}{2}+n+1 \end{eqnarray*}$

Und wenn Du das ausrechnest, bekommst Du:

$\begin{eqnarray*} \frac{n\cdot (n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Also gilt die Behauptung auch für die Zahl $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und das wolltest Du ja gerade zeigen.

Damit ist der Beweis beendet.

23.10.2011, 14:43

Ysnah

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ok wow, da gehört ja viel dazu..vielen dank!
kannst du mir auch noch die erste aufgabe erklären?

23.10.2011, 14:46

Gast11022013

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Zitat:

Original von Ysnah
ok wow, da gehört ja viel dazu..vielen dank!

Im Grunde ist das gar nicht viel. Es ist immer das gleiche Prinzip:

Man testet für einen Startwert, ob die Behauptung überhaupt Sinn macht.
Dann nimmt man an, man hätte sie bis zur Zahl n bewiesen und benutzt dann diese Annahme, um die Behauptung auch für n+1 zu zeigen.

Das rattert man irgendwann einfach nur noch herunter, fast schon, ohne groß darüber nachzudenken.

Bei der ersten Aufgabe fehlt mir, glaube ich, die Physik, die dahinter steckt.

Du kannst Dir aber mal den Artikel "Parallelschaltung" bei Wikipedia durchlesen, vielleicht bringt Dich das weiter.

23.10.2011, 14:53

Gast11022013

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Achso, so schwer ist's glaube ich dann doch nicht.

Allgemein gilt für den Gesamtwiderstand

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\hdots +\frac{1}{R_n} \end{eqnarray*}$ .

Bei der Aufgabe scheint nun $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ zu sein.

Also einfach die Werte einsetzen und umformen.

23.10.2011, 14:56

Ysnah

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Alles klar okay..wenn du bock hast kannst du dir ja nochmal die anderen aufgaben hier ansehen.. seh ich das richtig, dass 1.T.1 nur vereinfacht werden soll? also bsp.: a) 15+38i+(24i^2)

und bei 1.T.2 eine beliebige zahl für i einsetzen und gucken ob die gleichung stimmt?
(welche zahl würdest du empfehlen? die 1?)

23.10.2011, 14:58

Ysnah

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