Aussagenlogik

22.10.2011, 17:24

steviehawk

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Aussagenlogik

Meine Frage:
Hallo Leute,

Es gibt eine Regierung in der jeder Minister alle Gesetze des Steuerrechts kennt.

dieser Satz soll mit Quantoren dargestellt werden! Hier mein Versuch, wäre cool, wenn es sich jemand anschaut und korrigiert, falls nötig!

$\begin{eqnarray*} \exists R \forall M (M \in R \to kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

diese Aussage soll nun zu erst logisch und dann umgangssprachlich negiert werden.

$\begin{eqnarray*} \neg \exists R \forall M (M \in R \to kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall R \neg \forall M (M \in R \to kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall R \exists M \neg (M \in R \to kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall R \exists M ( \neg M \in R \vee kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall R \exists M ( M \in R \land \neg kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

die Aussagen sind alle logisch äquivalent und dann lautet der Satz:

In jeder Regierung gibt es einen Minister, der nicht alle Gesetze des Steuerrechts kennt.

logisch?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!!!

22.10.2011, 18:48

Dustin

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Hallo steviehawk,

Zitat:

dieser Satz soll mit Quantoren dargestellt werden! Hier mein Versuch, wäre cool, wenn es sich jemand anschaut und korrigiert, falls nötig! $\begin{eqnarray*} \exists R \forall M (M \in R \to kennt alle Gesetze des Steuerrechts) \end{eqnarray*}$

Das ist aber unvollständig. Auch "kennt alle Gesetze des Steuerrechts" bitte mit Quantoren ausdrücken!

Deine umgangssprachliche Negierung ist korrekt. Bei der mathematischen Formulierung ist natürlich die bereits angesprochene Unvollständigkeit noch da und außerdem ist die vorletzte Zeile NICHT äquivalent zu den anderen.

VG Dustin

22.10.2011, 18:59

steviehawk

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Danke,

also in der vorletzen Zeile, da muss ich das "Element in" negieren also “nicht Element in" oder?

hab leider keinen plan, wie ich kennt alle Gesetze ausdrücken soll!!!

hast du mir ein Tipp?

22.10.2011, 19:17

Dustin

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Zitat:

also in der vorletzen Zeile, da muss ich das "Element in" negieren also “nicht Element in" oder?

Nein, genau das war ja dein Fehler! Wandle erst mal den Folgepfeil in eine "oder"- Aussage um, bevor du negierst.

Zitat:

hab leider keinen plan, wie ich kennt alle Gesetze ausdrücken soll!!!

Das ist genauso einfach wie bei den anderen beiden Quantoren, die du schon "übersetzt" hast. "M kennt alle Gesetze" heißt doch anders ausgedrückt "Für alle Gesetze gilt: M kennt das Gesetz." Da steckt nochmal der Allquantor drin!

23.10.2011, 10:31

KnowingLizard

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Ich würde womöglich gar nicht auf eine Implikation zurückgreifen, meine Aussage sähe eher wie folgt aus: (M seien die Minister, R die Regierung, G die Gesetze, S das Steuerrecht)

$\begin{eqnarray*} \exists R \forall M\in R : kennt \forall G\in S \end{eqnarray*}$

Die Negation davon sollte dir problemlos gelingen, einfach die Quantoren umdrehen und die Aussage (das hinter dem Doppelpunkt) negieren.
(Hinweis: Wenn man den Quantor negiert, negiert man das, auf was er sich direkt bezieht, nicht, d.h. die Negation von
$\begin{eqnarray*} \forall M\in R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists M\in R \end{eqnarray*}$ und nicht (!) $\begin{eqnarray*} \exists M{\not\in} R \end{eqnarray*}$ )

23.10.2011, 13:00

steviehawk

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Zitat:

(Hinweis: Wenn man den Quantor negiert, negiert man das, auf was er sich direkt bezieht, nicht, d.h. die Negation von
$\begin{eqnarray*} \forall M\in R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists M\in R \end{eqnarray*}$ und nicht (!) $\begin{eqnarray*} \exists M{\not\in} R \end{eqnarray*}$ )[/quote]

wie verstehe ich dann das hier aus den Skript?

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall A(x)) = \exists \neg A(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neg (\exists A(x)) = \forall \neg A(x) \end{eqnarray*}$

wenn ich also sage:

$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : m \in R \end{eqnarray*}$ dann ist doch die Negation:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in M : m \notin R \end{eqnarray*}$ oder?

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23.10.2011, 13:11

Pascal95

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Hallo.

@KnowingLizard: Ich behaupte mal, dass das falsch ist!
@steviehawk: So wie du das aus deinem Skript kennst, ist es richtig!

Ich würde für "kennt alle Gesetze des Steuerrechts" lieber verwenden:
Wenn G ein Element der Menge S ist, so kennt der Minister es (ggf K(M,G))...

23.10.2011, 13:50

steviehawk

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Danke für den Beitrag;

also beginne ich so:

$\begin{eqnarray*} \exists R \forall M (\forall G \in S \to M kennt sie) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} M \in R \end{eqnarray*}$ ist habe bei den Defintionen vermerkt!

passt das?

23.10.2011, 13:58

Pascal95

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Ein bisschen problematisch ist:
"M kennt sie".

Mache daraus lieber eine 2-parametrige Aussageform à la $\begin{eqnarray*} K(X,Y)\ :\Leftrightarrow\ X\text{ kennt }Y \text{ .} \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 13:58

steviehawk

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Zitat:

Original von steviehawk
Danke für den Beitrag;

also beginne ich so:

$\begin{eqnarray*} \exists R \forall M (\forall G \in S \to M kennt sie) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} M \in R \end{eqnarray*}$ ist habe bei den Defintionen vermerkt!

passt das?

die Negation (ohne Schritte):

$\begin{eqnarray*} \forall R \exists M (\exists G \in S \wedge \neg M kennt sie) \end{eqnarray*}$

Also gibt es jeder Regierung einen Minister, der nicht alle Gesetze des Steuerrechts kennt.

(denn es gibt eines, dass er nicht kennt)

23.10.2011, 14:00

steviehawk

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kannst du das noch Verbessern, das ich es lesen kann, in deinem Beitrag Wink

Wink

Danke vielmals.

23.10.2011, 14:03

steviehawk

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also:

$\begin{eqnarray*} ...(\forall G \in S \to M kennt G) \end{eqnarray*}$

was soll denn $\begin{eqnarray*} K(X,Y) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

23.10.2011, 16:09

KnowingLizard

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Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich also sage:

$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : m \in R \end{eqnarray*}$ dann ist doch die Negation:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in M : m \notin R \end{eqnarray*}$ oder?

Exakt. Das wollte ich auch zum Ausdruck bringen smile

smile

23.10.2011, 17:01

Pascal95

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Zitat:

Original von steviehawk
was soll denn $\begin{eqnarray*} K(X,Y) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Hab ich doch hier gesagt.

Zitat:

Original von KnowingLizard

Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich also sage:

$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : m \in R \end{eqnarray*}$ dann ist doch die Negation:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in M : m \notin R \end{eqnarray*}$ oder?

Exakt. Das wollte ich auch zum Ausdruck bringen smile

smile

Nein. Du hast hier geschrieben:

Zitat:

Original von KnowingLizard
(Hinweis: Wenn man den Quantor negiert, negiert man das, auf was er sich direkt bezieht, nicht, d.h. die Negation von
$\begin{eqnarray*} \forall M\in R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists M\in R \end{eqnarray*}$ und nicht (!) $\begin{eqnarray*} \exists M{\not\in} R \end{eqnarray*}$ )

und das ist falsch.

23.10.2011, 17:16

steviehawk

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gut also dann sind quasi gar keine Worte mehr drin verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} ...(G \in S \to K(M,G)) \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} K(M,G) \end{eqnarray*}$ dan M kennt G heißt, dass schreibe ich bei den Definitionen dazu...

so?

23.10.2011, 17:22

Pascal95

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Ja, genau.

Man könnte es auch anders machen, z.B. mit Allquantor statt Implikation aber so würde ich das machen.

Dass keine Worte mehr drin sind, war ja eigentlich das Ziel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich schreibe das einfach mal vollständig nochmal auf.
$\begin{eqnarray*} \exists R\forall M \left( M\in R \rightarrow \left( G \in S \rightarrow K(M,G) \right)\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schrittweise negieren...
$\begin{eqnarray*} \lnot\exists R\forall M \left( M\in R \rightarrow \left( G \in S \rightarrow K(M,G) \right)\right)\ \ \Longleftrightarrow\ \ \ldots \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 17:24

KnowingLizard

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Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Original von steviehawk
was soll denn $\begin{eqnarray*} K(X,Y) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Hab ich doch hier gesagt.

Zitat:

Original von KnowingLizard

Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich also sage:

$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : m \in R \end{eqnarray*}$ dann ist doch die Negation:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in M : m \notin R \end{eqnarray*}$ oder?

Exakt. Das wollte ich auch zum Ausdruck bringen smile

smile

Nein. Du hast hier geschrieben:

Zitat:

Original von KnowingLizard
(Hinweis: Wenn man den Quantor negiert, negiert man das, auf was er sich direkt bezieht, nicht, d.h. die Negation von
$\begin{eqnarray*} \forall M\in R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists M\in R \end{eqnarray*}$ und nicht (!) $\begin{eqnarray*} \exists M{\not\in} R \end{eqnarray*}$ )

und das ist falsch.

Das soll der vordere Teil von dem hier sein:
$\begin{eqnarray*} \exists m \in M : m \notin R \end{eqnarray*}$
Und das da ist ja die nach dir richtige Negation vom Fragesteller.

23.10.2011, 18:09

Pascal95

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Naja, so ohne Zusammenhang sah ich dies einfach als falsch an.

Da wollte ich hier exakt bleiben.

27.10.2011, 00:40

Dustin

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Na, Hauptsache, es passt jetzt alles smile

smile

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