Integritätsring / Körper.

03.01.2007, 19:08

mark...

Integritätsring / Körper.

hallo einmal!
ich hätte eine frage bezüglich körpern.
in meinem skriptum steht, jeder körper ist ein integritätsring, was mir klar erscheint, da ein körper ja lediglich eine bedingnung mehr erfüllen muss
doch dann steht, dass jeder endliche integritätsring ein körper ist - doch warum?!

wäre nett wen mir das jemand kurz erklären könnte, danke

03.01.2007, 19:26

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integritätsring / Körper.
Hi!

Ein Element $\begin{eqnarray*} a\in R\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ heißt Nullteller, wenn es ein $\begin{eqnarray*} b\in R\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} ab=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring. Ein Ring, der keine Nullteiler besitzt nennt man Integritätsring. Soweit zur Verständigung. Isr $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein endlicher Ring, dann ist $\begin{eqnarray*} a\in R\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ ein Nullteiler oder eine Einheit. Und das ist doch gerade die Eigenschaft, die einem Ring zum Körper fehlt. Jedes Element ungleich der Null ist eine Einheit.
OK, zum Beweis. Sei $\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ kein Nullteiler. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{a^n:n\in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ ist endlich. Somit gibt es $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^m=a^n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein Nullteiler ist, muss $\begin{eqnarray*} 1-a^{n-m}=0 \end{eqnarray*}$ sein. Daher ist $\begin{eqnarray*} aa^{n-m-1}=1,~a \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit.

Edit: Code

03.01.2007, 20:33

mark...

Auf diesen Beitrag antworten »

danek mal fuer die antwort, irgendwie blick ich nicht ganz durch smile

also...bis zu "Soweit zur Verständigung." ist alle klar dann kommt:
Isr $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein endlicher Ring, dann ist $\begin{eqnarray*} a\in R\backslash\{0\} \end{eqnarray*}$ ein Nullteiler oder eine Einheit.

also entweder es ist irgend eine einheit oder eben ein nullteiler wenn ich das richtig verstehe und dann meinst du das genau dies die eigenschaft ist, die einem ring zum körper fehlt.
ich habe das aber so verstanden, dass ein komutativer ring (also add und mul sind ablsche gruppen) ein körper wird, wenn <K \ {0}, . > ebenfalls eine ablsche gruppe bildet (ich hoffe mal das stimmt smile

)

und dann zu deinem beweis: $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ gehört da nicht m=n?

danke...

04.01.2007, 17:24

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mark...
also entweder es ist irgend eine einheit oder eben ein nullteiler wenn ich das richtig verstehe und dann meinst du das genau dies die eigenschaft ist, die einem ring zum körper fehlt.
ich habe das aber so verstanden, dass ein komutativer ring (also add und mul sind ablsche gruppen) ein körper wird, wenn <K \ {0}, . > ebenfalls eine ablsche gruppe bildet (ich hoffe mal das stimmt smile

)

und dann zu deinem beweis: $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ gehört da nicht m=n?

danke...

Hi! Du scheinst da irgendwas zu verwechseln. Schau dir nochmal die Definitionen an. Ein Ring muss ja im allgemeinen nicht nullteilerfrei sein - für den Körper ist das aber notwendig - d.h. jeder Körper ist folglich ein Integritätsring. Deine Aufzählung, dass ein kommutaitver Ring bezüglich $\begin{eqnarray*} +/\cdot \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe bildet ist falsch!
Ein kommutativer Ring ist zunächst erstmal nur eine abelsche Gruppe bezüglich $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ , das Assoziativ- und Kommutativgesetz bzgl. $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ sind erfüllt und es gelten die Distributivgesetze.
Ist nun dieser Ring auch noch eine abelsche Gruppe bezüglich $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert ein neutrales Element und jedes von Null verschiedene Element ist eine Einheit (d.h. es existieren multiplikative Inverse), dann wird der Ring zu einem Körper!

Wegen dem Beweis... Ich würde schon sagen dass das stimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Integritätsring / Körper.

Verwandte Themen