Erstes Integral (DGL)

22.10.2011, 17:58

am121991

Erstes Integral (DGL)

Meine Frage:
Hallihallo,
nachdem meine restlichen Matheprobleme jetzt gelöst sind, habe ich mich an die Aufgabe rangewagt, in der man erste Integrale ausrechnen soll:
Ich soll zeigen, dass E(x)=(x_1)^2 + (x_2)^2 ein erstes Integral von (x_1)' = x_2 und (x_2)' = -(x_1).

Meine Ideen:
leider hab ich gar keine Ahnung was überhaupt ein erstes Integral ist...
hier wurde es so definiert: Eine nicht-konstante Funktion E:R^m -> R heißt erstes Integral der Differenzialgleichung y'(t)=f(y(t)), wenn t -> E(y(t)) konstant ist für jede Lösung der DGL.
so, da jetzt aber oben weder t noch y noch f zu finden sind, sondern nur x weiß ich grad echt nicht was ich hier machen soll.
ich hoffe mir kann jemand helfen!

22.10.2011, 18:13

Cel

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Hallöchen,

der Trick hier: Die Definition vom 1. Integral spricht von Lösungen. Du musst aber keine ausrechnen, um nachzuweisen, dass dieses E ein Integral ist.

Übersetzen wir mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}' = \underbrace{\begin{pmatrix}x_2 \\ -x_1\end{pmatrix}}_{=: f(x_1,x_2)} \end{eqnarray*}$ .

In der Definition steht y, wir würden also streng $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = y \end{eqnarray*}$ schreiben.

Dann wunderst du dich über das fehlende t. Das lässt man aber aus Faulheit sehr oft bei den Funktionen weg. GANZ streng schreiben wir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}' = \underbrace{\begin{pmatrix}x_2(t) \\ -x_1(t)\end{pmatrix}}_{=: f(x_1(t),x_2(t))} \end{eqnarray*}$ .

So, was ist jetzt eine Eigenschaft einer konstanten Funktion? Wenn man sie ableitet ... Idee!

Bilde mal $\begin{eqnarray*} E(x_1(t), x_2(t)) \end{eqnarray*}$ . Dabei tun wir so, als ob $\begin{eqnarray*} (x_1(t), x_2(t))^T \end{eqnarray*}$ eine Lösung der DGL ist. Obwohl wir sie nicht kennen.

Der nächste Schritt ist dann, $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} E(x_1(t), x_2(t)) \end{eqnarray*}$ zu bilden, die verkettete Funktion also nach t abzuleiten.

Schau mal, was du hinbekommst. Wink

22.10.2011, 18:24

am121991

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Hallo,
erstmal vielen Dank für die umfangreiche Antwort! Freude

Jetzt ist mir auf jeden Fall schon mal klar, wo die ganzen Variablen hingehören.
Zu deinem Denkanstoß: Eine konstante Funktion abgeleitet ergibt 0.
Allerdings verstehe ich nicht so ganz, was du mir mit "Bilde jetzt mal E(x1, x2)" sagen willst, das haben wir ja schon definiert? Das wäre dann ja einfach x1^2+x2^2 oder nicht? Und warum brauche ich diesen anderen Vektor als Lösung meiner DGL? Das versteh ich glaub ich noch nicht so ganz... verwirrt

22.10.2011, 18:41

am121991

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Also gut, ich hab jetzt mal angefangen so wie ich denke, dass du das meinst...
Dann wäre erst mal $\begin{eqnarray*} E(x_1 + x_2) = ((x_1)^2 , (x_2)^2) \end{eqnarray*}$
Das wäre dann gleich $\begin{eqnarray*} (-(x_2)'(t)^2 , (x_1)'(t)^2) \end{eqnarray*}$
Wenn ich das ganze jetzt ableite dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} E'(x_1,x_2)=(-2x_2'(t) x_2''(t) , 2x_1'(t) x_1''(t)) \end{eqnarray*}$
Das wäre ja aber nur gleich Null, wenn x1 und x2 konstant wären... sind sie das? und wenn ja warum?

22.10.2011, 19:33

Cel

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Zitat:

Original von am121991
Dann wäre erst mal $\begin{eqnarray*} E(x_1 + x_2) = ((x_1)^2 , (x_2)^2) \end{eqnarray*}$

Hm? Nein, was machst du denn da? Im ersten Post von dir war das noch mal ganz gut, du solltest das eben nur noch mal mit dem t drin schreiben.

Danach geht es mit der Ableitung arg durcheinander. Denk mal an die Kettenregel. Wie lautet sie? Wir haben eine äußere und eine innere Funktion? Welche sind das hier?

Oder anders: Noch mal von vorne. Das, was du aufgeschreiben hast, können wir nicht gebrauchen. Augenzwinkern

Edit: Und diesen Vektor brauchen wir, weil wir eine Lösung der DGL in die Funktion E einsetzen müssen. Steht ja in der Definition.

22.10.2011, 20:26

am121991

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Nunja... also... dann leit ich jetzt mal nochmal E ab...

$\begin{eqnarray*} E'(x_1,x_2)=(x_1(t)^2, x_2(t)^2)'=(2x_1(t)x_1'(t), 2x_2(t)x_2'(t)) \end{eqnarray*}$

so, das wäre jetzt nach meiner Kettenregel...
und wenn ich jetzt x1 und x2 als Lösungen der DGL betrachte dann kann man vielleicht das ganze so schreiben?:

$\begin{eqnarray*} E'(x_1, x_2)=(2x_1(t)x_2(t), -2x_2(t)x_1(t)) \end{eqnarray*}$

wäre auch hübsch... wenns stimmt... aber dann wüsst ich immer noch nicht warum das dann null sein soll....? unglücklich

22.10.2011, 20:30

Cel

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Zitat:

Original von am121991
$\begin{eqnarray*} E'(x_1,x_2)=(x_1(t)^2, x_2(t)^2)' \end{eqnarray*}$

Nein! Das stimmt nicht, E ist reellwertig, kein Vektor. Guck noch mal hin, beim allerersten Mal stimmte es.

Aber behalte das mit dem Ersetzen im Kopf, also das, was du danach gemacht hast. Augenzwinkern

22.10.2011, 21:13

am121991

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Oh Gott.... ja wie doof! Entschuldigung... Hammer

also
$\begin{eqnarray*} E'(x_1(t),x_2(t))=(x_1(t)^2+x_2(t)^2)'=2x_1(t)x_1'(t)+2x_2(t)x_2'(<br /> t) \end{eqnarray*}$

und jetzt durch einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2x_1(t)x_2(t)-2x_2(t)x_1(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Wie schön!
Also ist E konstant für alle Lösungen von der DGL
also ist E ein :-) oder?

23.10.2011, 00:20

Cel

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Genau!

Gar nicht so schwer, wenn man es einmal weiß, ne? Augenzwinkern

23.10.2011, 12:21

am121991

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Vielen Dank! Ja jetzt ist es nicht mehr schwer... wenn man weiß was man machen soll ;-)

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