Logarithmus

22.10.2011, 17:58

Atomos

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Logarithmus

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Aufgabe lautet: Vereinfachen Sie unter Verwendung der Rechenregeln für Logarithmen. Kann mir jemand bitte helfen?

$\begin{eqnarray*} <br /> log_{c}\frac{x^{2} y}{\sqrt{1+x^{2}}}-2log_{c}x+\frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 18:09

Pilot9

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Hm, ich kann dir ja mal ein paar Rechenregeln aufschreiben, die du hier verwenden kannst und auch solltest. smile

smile

$\begin{eqnarray*} b \cdot log_{c}a=log_{c}a^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{c}a+log_{c}b=log_{c}(a \cdot b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{c}a-log_{c}b=log_{c}\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 18:37

atomos

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RE: Logarithmus
$\begin{eqnarray*} <br /> log_{c} x^{2} - log_{c} \sqrt{1+x^{2}} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

22.10.2011, 18:45

Pilot9

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Du hast im ersten Summanden das y vergessen, ansonsten sieht das gut aus.

$\begin{eqnarray*} <br /> log_{c}( x^{2} \cdot y) - log_{c} \sqrt{1+x^{2}} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

Hier mal der Ausdruck um das y ergänzt. smile

smile

Und nun weiter, denn wirklich vereinfacht ist das hier noch nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wende vorallem das erste Gesetz an, welches ich oben aufgeschrieben habe.

22.10.2011, 18:55

DerMatheFreak

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Hallo,

damit es nicht zur Verwechslungen kommt, ich bin Atomos. Ich hatte nur zeitweilig mein Passwort vergessen.

also

$\begin{eqnarray*} 2* log_{c} ( x * y) - 2* log_{c} \sqrt{1+x} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2} 2* log_{c}(1+x) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

22.10.2011, 19:06

Pilot9

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Nein, das geht so nicht. Wenn du eine Potenz aus einem Logarithmus heraushohlen willst, muss die Potenz den ganzen Logarithmanden betreffen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} log_{c}( x^{2} \cdot y) \end{eqnarray*}$

Hier darfst du das nicht anwenden, da die gemeinsame Potenz hier eins ist. Du könntest diesen Summanden aber nach dem zweiten Gesetz von oben aufspalten.

Hätten wir aber z.B.

$\begin{eqnarray*} log_{c}( x^{2} \cdot y^2)=log_{c}( x \cdot y)^2 \end{eqnarray*}$

Hier könnten wir umformen zu: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot log_{c}( x \cdot y) \end{eqnarray*}$

Also gehen wir erstmal wieder von diesem Term aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> log_{c}( x^{2} \cdot y) - log_{c} \sqrt{1+x^{2}} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

Forme vor allem die Wurzel in Potenzschreibweise um. smile

smile

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22.10.2011, 19:19

DerMatheFreak

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RE: Logarithmus
$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2} + log_{c} y - log_{c} (1^{\frac{1}{2}}+x^{2}) -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 19:26

Pilot9

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Die Wurzel ist falsch in die Potenzschreibweise überführt.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b^2}=(a+b^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Oder allgemein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt [n]{(a+b^2)^m}=(a+b^2)^{\frac{m}{n}} \end{eqnarray*}$

Und wenn unter der Wurzel eine Summe steht, muss diese sowieso immer als eine "untrennbare" Einheit betrachtet werden.

22.10.2011, 19:31

DerMatheFreak

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RE: Logarithmus
$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2} + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 19:35

Pilot9

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Richtig. Und jetzt fass mal soweit wie möglich zusammen, ich guck dann obs richtig ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2011, 19:38

DerMatheFreak

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RE: Logarithmus
$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2} + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} log_{c} x+ \frac{1}{2}^{-2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 19:45

Pilot9

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verwirrt

Mir ist grad nicht wikrlich klar was du hier gemacht hast, sieht aus wie in deinem letzten Post, nur als ob du ein paar Schreibfehler eingebaut hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreib mal bitte noch paar Worte dazu, was du warum gemacht hast und vielleicht mit ein paar Zwischenschritten.

22.10.2011, 19:48

DerMatheFreak

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Also ich habe das dritte bzw. das erste von dir aufgeführte Logarithmusgesetzt angewendet statt $\begin{eqnarray*} -2 log_{c} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ habe ich die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ als Potenz auf den Bruch aufgeführt.

22.10.2011, 19:56

Pilot9

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Versteh ich immer noch nicht. Der Term $\begin{eqnarray*} -2 log_{c} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ kam doch an keiner Stelle vor.

$\begin{eqnarray*} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2}) \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du hier die -2 vom ersten Summanden zum Faktor vor dem zweiten geschoben hast? Wenn ja, dann muss ich dir sagen, dass sowas wirklich nicht geht.

$\begin{eqnarray*} -2 log_{c}x+ \frac{1}{2}log_{c}(1+x^{2})= - log_{c}x^2+ log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung wäre möglich.

Also probiers nochmal mit dem Zusammenfassen. smile

smile

22.10.2011, 20:16

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Pilot9

$\begin{eqnarray*} - log_{c}x^2 \end{eqnarray*}$

Dann verstehe ich nicht, wieso der minus Operator noch bleibt, wenn man die 2 als Potenz umgeformt hat.

22.10.2011, 20:23

Pilot9

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Das minus ist hier ein Verknüpfungszeichen zwischen 2 Summanden, kann also nicht einfach reingezogen werden.

Würde $\begin{eqnarray*} - log_{c}x^2 \end{eqnarray*}$ alleine dastehen könntest du in der Tat das minus noch mit rein ziehen, aber im Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -2 log_{c}x & \end{eqnarray*}$ ist das ganze zu betrachten als

$\begin{eqnarray*} - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -(+2 \cdot log_{c}x) & \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 20:41

DerMatheFreak

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RE: Logarithmus
So, was kann man jetzt noch machen?

$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2} + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -log_{c}x^{2}+ log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 20:43

Pilot9

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Ja, der Schritt war gut. Freude

Freude

Und was man jetzt noch machen kann? Schau dir die Summanden doch mal ganz genau an und ordne zur Not mal um.

22.10.2011, 20:57

DerMatheFreak

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RE: Logarithmus
$\begin{eqnarray*} log_{c} (x^{2}*y) - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -log_{c}x^{2}+ log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich habe beim ersten Therm, das 1. Gesetz des Logarithnus angewendet.

22.10.2011, 20:59

Pilot9

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Nein, nicht wieder so zusammenfassen. Ich geb mal nen Wink, indem ich einen Summanden umordne.

$\begin{eqnarray*} (log_{c} x^{2}-log_{c}x^{2}) + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} + log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 21:12

DerMatheFreak

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Sorry, ich habe keine Ahnung was ich mit den übrigen Summanden machen soll? Hammer

Hammer

22.10.2011, 21:15

Pilot9

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Wir sind jetzt einfach mal so frei und definieren:

$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2}= a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}}=b \end{eqnarray*}$

Das setz jetzt mal in unseren Ausdruck

$\begin{eqnarray*} (log_{c} x^{2}-log_{c}x^{2}) + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} + log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

ein und es sollte dir klar werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2011, 21:26

DerMatheFreak

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So vielleicht? Habe versucht die 4 Therme zusammenzufassen.
$\begin{eqnarray*} (log_{c} x^{4}* - log_{c} 2+x^{4})^{1} + log_{c} y \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 21:33

Pilot9

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Du machst es dir ganz schön schwer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erstens sind dir ein paar Rechenfehler passiert und zweitens bekommen wir das auf die Art glaub ich auch nicht komplett vereinfacht.
Edit: Geht doch, aber sehr umständlich isses trotzdem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir fehlt noch ein Blick fürs Wesentliche, also mach jetzt einfach mal ganz stumpf was ich vorhin geschrieben habe:

Zitat:

Wir sind jetzt einfach mal so frei und definieren:

$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2}= a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}}=b \end{eqnarray*}$

Das setz jetzt mal in unseren Ausdruck
$\begin{eqnarray*} (log_{c} x^{2}-log_{c}x^{2}) + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} + log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

ein und es sollte dir klar werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

22.10.2011, 22:23

DerMatheFreak

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Leider wird mir nichts klar...
$\begin{eqnarray*} a - a + log_{c} y -b + b \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 22:40

Pilot9

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$\begin{eqnarray*} a-a= &? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b+b=&? \end{eqnarray*}$

Das bekommst du doch hin, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2011, 22:47

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} -2a, 0b \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 22:50

Pilot9

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$\begin{eqnarray*} -b+b=0b \end{eqnarray*}$ oder auch 0 ist richtig.

$\begin{eqnarray*} a-a= &? \end{eqnarray*}$

Klammere mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus, dann solltest du sehen, dass die Antwort nicht $\begin{eqnarray*} -2a \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2011, 23:10

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 0a \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 23:11

Pilot9

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Jup.

Also wie sieht unsere Ausgangsfunktion nun zusammengefasst aus?

22.10.2011, 23:23

DerMatheFreak

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OMG, das ist ja so einfach. Wieso habe ich es nicht früher erkannt? Natürlich, bleibt $\begin{eqnarray*} log_{c} y \end{eqnarray*}$ übrig. Ich danke dir vielmals!! Prost

Prost

22.10.2011, 23:25

Pilot9

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So siehts aus, ein Paradebeispiel einer zu vereinfachenden Funktion, in meinen Augen wunderschön. smile

smile

Hast du jetzt auch alles verstanden? Also so, dass du es auch auf einen anderen Term anwenden könntest?

Ach, und gern geschehen. Prost. Prost

Prost

22.10.2011, 23:28

DerMatheFreak

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Nunja, auf Anhieb kann ich das nicht beurteilen. Ich denke ich bräuchte noch weitere Anwendungen bevor ich die Gesetze und die Thermumformung auch nachhaltig im Kopf behalte. Nach 5 Stunden nur eine Aufgabe gelöst. traurig

traurig

22.10.2011, 23:37

DerMatheFreak

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Ich stehe nun vor folgenden Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) \end{eqnarray*}$

Werden hier genau die gleichen Gesetze angewendet?

22.10.2011, 23:38

Pilot9

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Ja, die Gesetze sind für alle Logarithmen gleich.

22.10.2011, 23:50

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) <br /> <br /> lnx^{2} + ln8x-ln2x^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Also ehrlih gesagt, wüsste ich hier schon nicht mehr weiter. Wo kann man den anfangen zuv ereinfachen. Und was heißt eigentlich vereinfacht? Ist es vereinfacht wenn ich $\begin{eqnarray*} 2lnx \end{eqnarray*}$ stehen habe oder
$\begin{eqnarray*} lnx^{2}? \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 00:00

Pilot9

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Nein, du bist in der richtigen Richtung unterwegs. Freude

Freude

Ich hab auch nicht auf anhieb gesehen welche Vereinfachung nötig ist, aber glaub mir, es wird wieder ein sehr übersichtlicher Term am Ende rauskommen, genauer gesagt eine Zahl. smile

smile

Also erstmal:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) <br /> <br /> lnx^{2} + ln8x-ln2x^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Im letzten Summanden ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen.

$\begin{eqnarray*} 3ln2x=ln(2x)^{3}=ln2^3x^{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt schreib ich erstmal noch die Gesetze vom Anfang nochmal auf, um das nochmal im Gedächtnis zu zementieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1. Logarithmengesetz: $\begin{eqnarray*} &log_{c}a+log_{c}b=log_{c}(a \cdot b) \end{eqnarray*}$

2. Logarithmengesetz: $\begin{eqnarray*} &log_{c}a-log_{c}b=log_{c}\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray*}$

3. Logarithmengesetz: $\begin{eqnarray*} &b \cdot log_{c}a=log_{c}a^b \end{eqnarray*}$

Form also als nächstes nach dem 1.Gesetz alle Logarithmen in Summen um.

______________________________________

Hier nur mal allgemein zu

Zitat:

Also ehrlih gesagt, wüsste ich hier schon nicht mehr weiter. Wo kann man den anfangen zuv ereinfachen. Und was heißt eigentlich vereinfacht? Ist es vereinfacht wenn ich $\begin{eqnarray*} 2lnx \end{eqnarray*}$ stehen habe oder $\begin{eqnarray*} lnx^{2}? \end{eqnarray*}$

Da gibts oftmals keine allgemeine Anleitung. Ich würde letztere Variante vorziehen, da sich von da aus oftmals besser weitere Umformungen durchführen lassen.

23.10.2011, 00:15

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) <br /> <br /> lnx^{2} + ln8x-ln(2x)^{3}<br /> <br /> ln(x^{2} * 8x)-ln(2x)^{3}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 00:17

Pilot9

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So kann mans natürlich auch machen. Freude

Freude

Und jetzt wende noch einmal das 2.Gesetz an. smile

smile

Und vor allem: Rechne mal $\begin{eqnarray*} (2x)^3 \end{eqnarray*}$ aus.

23.10.2011, 00:24

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) <br /> <br /> lnx^{2} + ln8x-ln(2x)^{3}<br /> <br /> ln(x^{2} * 8x)-ln(2x)^{3}<br /> <br /> ln(x^{2}*8x)-ln 8 x^{3}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

komme jetzt leider nicht weiter, trotz längerem Überlegen...

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