Logarithmus - Seite 2

23.10.2011, 00:26

Pilot9

Wir haben gegeben:

$\begin{eqnarray*} &log_{c}a-log_{c}b=log_{c}\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a=x^2 \cdot 8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=8x^3 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

23.10.2011, 00:33

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) lnx^{2} + ln8x-ln(2x)^{3} ln(x^{2} * 8x)-ln(2x)^{3} ln(x^{2}*8x)-ln 8 x^{3} ln\frac{x^{2}*8x}{8x^{3}} ln x^{2} *8x^{1-3} ln x^{2} * 8x^{-2} \end{eqnarray*}$

Ich wollte die 8x kürzen, da sie diesselben Basen haben, kann ich das so machen indem ich die Potenzen miteinander subtrahiere?

23.10.2011, 00:38

Pilot9

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Da wir es hier mit einem Produkt zu tun haben kannst du kürzen was du willst. Augenzwinkern

Das mit dem subtrahieren ist richtig. Hast aber vergessen die 8 zu kürzen.

23.10.2011, 00:41

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 2ln x + ln(8x)-3ln(2x) lnx^{2} + ln8x-ln(2x)^{3} ln(x^{2} * 8x)-ln(2x)^{3} ln(x^{2}*8x)-ln 8 x^{3} ln\frac{x^{2}*8x}{8x^{3}} ln x^{2} *x^{1-3} ln x^{2} * x^{-2} ln x^{2+(-2)} ln 1 \end{eqnarray*}$

Ein großen Dank an dich, Pilot19. Du bist wirklich eine große Hilfe! smile

23.10.2011, 00:45

Pilot9

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Ich heiß Pilot9 traurig

Aber noch sind wir nicht ganz fertig!

Was ist den $\begin{eqnarray*} ln 1 \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2011, 00:51

DerMatheFreak

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Das tut mir sehr Leid. Ich korrigiere mich: Ich danke dir, Pilot9. smile

$\begin{eqnarray*} log_{e}=1 \end{eqnarray*}$

wobei ich nur diese Formel so bekommen habe und nicht weiß, was das eigentlich heißt.

23.10.2011, 01:00

Pilot9

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Dann erklär ich das zum Abschluß einfach ohne groß nachzubohren. smile

$\begin{eqnarray*} ln 1=c \leftarrow \rightarrow e^c=1 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ist hier die Basis da $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ der natürliche Logarithmus mit eben dieser Basis ist. Augenzwinkern

)

Und nach Definition kann eine Exponentialfunktion nur den Wert 1 an der Stelle 0 haben.

Daher gilt $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln1=0 \end{eqnarray*}$ .

Und das ist unser endgültiges Ergebnis. smile

23.10.2011, 01:10

DerMatheFreak

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Ich habe die Erklärung nicht richtig verstanden, aber dankeschön für die vilen Hilfen Wink

23.10.2011, 01:22

Pilot9

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Dann bin ich nicht zufrieden und muss nochmal ran. Augenzwinkern

Der Logarithmus $\begin{eqnarray*} log_{a}b=c& \end{eqnarray*}$ sprich, der Logarithmus von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , ist ja Definiert als die Zahl mit der man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ potenzieren muss, damit man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erhält, oder in Form einer Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a^c=b \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} a^{log_{a}b}=b \end{eqnarray*}$ weil ja gilt $\begin{eqnarray*} log_{a}b=c& \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt gilt $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist das einzig mögliche Ergebnis $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Und daher ist $\begin{eqnarray*} log_{a}1=0& \end{eqnarray*}$ immer gültig.

Falls es immer noch nicht klar ist kannst du dir ja morgen nochmal drüber gucken, vielleicht isses dann klarer. smile

Zitat:

aber dankeschön für die vilen Hilfen Wink

Immer gerne wieder. smile

Mir hat es auch Spaß gemacht, einerseits weil ich mich freue, wenn ich jemandem helfen kann und weil ich es immer wieder toll finde, wenn man auf den ersten Blick kompliziert aussehende Terme am Ende auf ganz simple Ausdrücke reduzieren kann, wobei deine Aufgaben Paradebeispiel dafür waren. smile

Hach, Mathematik... Augenzwinkern

Also machs gut. Wink

23.10.2011, 01:49

DerMatheFreak

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Eine wichtige Frage hätte ich noch zu der vorherigen Aufgabe. Und zwar würde ich gerne wissen ob man die Therme bzw. Logarithmen beliebig umstellen kann? wie von der 1. bis zur 2. Gleichung, die du anschließend aufgeführt hast?

$\begin{eqnarray*} log_{c} x^{2} + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} -log_{c}x^{2}+ log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (log_{c} x^{2}-log_{c}x^{2}) + log_{c} y - log_{c} (1+x^{2})^{\frac{1}{2}} + log_{c}(1+x^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 01:56

Pilot9

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Na klar, Summanden in einer Summe kannst du nach belieben vertauschen.

Siehe dazu auch Wikipedia: Kommutativgesetz

smile

23.10.2011, 02:04

DerMatheFreak

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Das zweite $\begin{eqnarray*} log_{c}x^{2} \end{eqnarray*}$ war aber auch zeitgleich ein Minuend oder nicht?

23.10.2011, 02:06

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Pilot9
Dann bin ich nicht zufrieden und muss nochmal ran. Augenzwinkern

Das verstehe ich, aber im Zusammenhang mit der eulersche Zahl ist mir das nicht klar. Das hatte ich bislang noch nicht.

23.10.2011, 02:09

Pilot9

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Zitat:

Das zweite $\begin{eqnarray*} log_{c}x^{2} \end{eqnarray*}$ war aber auch zeitgleich ein Minuend oder nicht?

Richtig.

Zitat:

Das verstehe ich, aber im Zusammenhang mit der euleschen Zahl ist mir das nicht klar. Das hatte ich bislang noch nicht.

Du meinst als du vorhin $\begin{eqnarray*} ln =1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} log_{e}=1 \end{eqnarray*}$ gepostet hast? Das macht auch keinen Sinn. Augenzwinkern

Es müsste heißen $\begin{eqnarray*} lne =1 \end{eqnarray*}$ , da wenn wir diese Gleichug umstellen:

$\begin{eqnarray*} e^1=e \end{eqnarray*}$ was offensichtlich richtig ist. smile

23.10.2011, 02:16

DerMatheFreak

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Wenn es zeitgleich ein Minuend ist, kann man das kummutativgesetz trotzdessen verwenden?

Gut, dann habe ich es mit der eulerschen Zahl in der Gleichung jetzt verstanden. smile

23.10.2011, 02:22

Pilot9

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Im Prinzip ja, du musst aber eventuell das Vorzeichen mitnehmen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a-b-c \end{eqnarray*}$ kann man umformen in $\begin{eqnarray*} a-c-b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -b+a-c \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -b-c+a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -c-b+a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -c+a-b \end{eqnarray*}$

Du solltest dabei bedenken, dass sich jede Subtraktion auch als Addition schreiben lässt, das ist denke ich das Wichtigste: $\begin{eqnarray*} a-b-c=a+(-b)+(-c) \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 02:41

DerMatheFreak

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OKay, danke nochmals für deine Hilfe. Wink

23.10.2011, 02:43

Pilot9

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