Skalarprodukt und spd Matrix

22.10.2011, 18:32

decrux

Skalarprodukt und spd Matrix

man zeige, dass sich ein beliebiges skalarprodukt durch <Ax,y> also über eine Matrix A und das Euklidische Skalarprodukt ausdrücken lässt und es eine symmetrisch positiv definite (spd) Matrix A dazu gibt.
Meine Ideen bisher:
Vielleicht wenn ich von einer allgemeinen 2x2-Matrix A ausgehe und die multipliziere mit einem Vektor x und den verskalarprodukte mit einem vektor y und davon ausgehe dass x SENKRECHT y und dann irgendwie rückschließe auf die Matrix A und dann die eigenenschaften einer SPD matrix zeige, aber wirklich weiter kommen tu ich nicht.

22.10.2011, 18:54

system-agent

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Bezeichnen wir einmal mit $\begin{eqnarray*} \langle\cdot,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ das beliebige Skalarprodukt. Sei $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_n \end{eqnarray*}$ die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Betrachte dann mal die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{ij}:=\langle e_i,e_j\rangle \end{eqnarray*}$ .

22.10.2011, 20:08

decrux

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beim normalen skalarprodukt wär es das kronecker delta also 1 wenn i=j sonst 0. aber beim beliebigen kann es doch alles sein, halt nur größer 0 wenn i=j.

22.10.2011, 21:23

system-agent

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Das stimmt schon was du sagst. Aber ich habe diese Zahlen nicht zufällig $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ getauft.
Wenn du es noch nicht siehst, dann schreibe mal für zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v=(v_1,...,v_n)=\sum\limits_{i=1}^nv_ie_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=(w_1,...,w_n)=\sum\limits_{j=1}^nw_je_j \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ aus.

22.10.2011, 21:52

decrux

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wenn ich es als summe ausschreibe, dann kann ich wegen der bilinearität die vorfaktoren rausziehen und bin dann wieder beim skalarprodukt der einheitsvektoren jeweils. kann dann wegen der symmetrie teilweise etwas ausklammern.
ich hab das jetzt verglichen mit <Av,w> mit 2x2-Matrix.
meinst du die a(ij) von dir sind die einträge der matrix?

im 2x2 beispiel hab ich mit "koeffizientenvergleich" für A(1,2) und A(2,1) den gleichen eintrag => A ist symmetrisch. für positive definitheit muss ich doch zeigen, dass alle eigenwerte positiv sind, also das charakteristische polynom von der matrix lösen, in der skalarprodukte stehen?

hab ich mich zu sehr auf 2x2 versteift?

23.10.2011, 09:46

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
wenn ich es als summe ausschreibe, dann kann ich wegen der bilinearität die vorfaktoren rausziehen und bin dann wieder beim skalarprodukt der einheitsvektoren jeweils.

Dann schreib das doch mal hin.

Zitat:

Original von decrux
kann dann wegen der symmetrie teilweise etwas ausklammern.

Das verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von decrux
meinst du die a(ij) von dir sind die einträge der matrix?

Bingo.

Zitat:

Original von decrux
im 2x2 beispiel hab ich mit "koeffizientenvergleich" für A(1,2) und A(2,1) den gleichen eintrag => A ist symmetrisch.

Vergiss den 2x2-Fall, ich denke doch mal du sollst es allgemein zeigen. Da ist ein Koeffizientenvergleich schwierig.
Symmetrie der Matrix bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} a_{ij}=a_{ji} \end{eqnarray*}$ gilt. Versuch das mal zu folgern aus den Eigenschaften des Skalarprodukts.

Zitat:

Original von decrux
für positive definitheit muss ich doch zeigen, dass alle eigenwerte positiv sind, also das charakteristische polynom von der matrix lösen, in der skalarprodukte stehen?

Das ist viel zu kompliziert Augenzwinkern

. Eine Matrix ist positiv definit, falls für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wie hängt das mit deinem gegebenen Skalarprodukt zusammen?

23.10.2011, 14:13

decrux

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$\begin{eqnarray*} \langle v,w \rangle = \langle \sum_{i=1}^n v_i , \sum_{k=1}^n w_i \rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n v_i w_i = \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 14:15

decrux

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okay das war ein falscher post, ich meld mich hier an, dann kann ich editieren und ich schreibs erstmal sauber auf mein blatt

23.10.2011, 15:15

decrux

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also mein ansatz ist:

ich gehe jeweils von der summendarstellung der vektoren v und w aus

ich bilde das beliebige skalarprodukt über v und w und komme über die bilinearität auf das skalarprodukt der einheitsvektoren.

ich vergleiche das mit dem euklidischen skalarprodukt mit A drin also: <Av,w>

dann schließe ich aus beiden ergebnissen, dass die beliebigen skalarprodukte der einheitsvektoren die jeweiligen einträge von A sind

weil nun die einzelnen einträge die eigenschaft a(ij)=a(ji) aufweisen ist die matrix symmetrisch.

wegen der symmetrie von A und der positiven definitheit der skalarprodukte <a(i),a(i)> > 0 ist auch x(transponiert) * A * x > 0

kleinere probleme sind aber die "summenschubserei" und die letzte folgerung: ich hab das letzte mal ausgeschrieben für 2x2 und komm damit auf: x1²a+x1x2b+x2x1b+x2²c wobei A=(a b
b c )
warum ist das größer 0 und wie ist das allgemein zu sagen?

23.10.2011, 15:49

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
ich vergleiche das mit dem euklidischen skalarprodukt mit A drin also: <Av,w>

dann schließe ich aus beiden ergebnissen, dass die beliebigen skalarprodukte der einheitsvektoren die jeweiligen einträge von A sind

Eine Spur sauberer wäre es, einfach von Anfang an zu sagen wie du die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definierst. Die Behauptung ist ja nur, dass du die Existenz einer solchen Matrix zeigen musst.

Zitat:

Original von decrux
weil nun die einzelnen einträge die eigenschaft a(ij)=a(ji) aufweisen ist die matrix symmetrisch.

Und wieso weisen sie denn diese Eigenschaft auf? Was ist der Grund?

Zitat:

Original von decrux
wegen der symmetrie von A und der positiven definitheit der skalarprodukte <a(i),a(i)> > 0 ist auch x(transponiert) * A * x > 0

OK.

Zitat:

Original von decrux
kleinere probleme sind aber die "summenschubserei" und die letzte folgerung: ich hab das letzte mal ausgeschrieben für 2x2 und komm damit auf: x1²a+x1x2b+x2x1b+x2²c wobei A=(a b
b c )
warum ist das größer 0 und wie ist das allgemein zu sagen?

Das verstehe ich nicht.

23.10.2011, 16:00

decrux

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$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k ; \vec{w} = \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \langle \vec{v},\vec{w} \rangle = \langle \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k w_l \langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$
// wegen der bilineartität, auch wenn ichs nicht ganz versteh
das soll jetzt das gleiche sein wie, diesmal euklidisches skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} \langle A \vec{v},\vec{w} \rangle =\langle A \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \langle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_i a_{i k}, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k a_{ik} w_l \langle \vec{e}_i,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$
diese dreifachsumme soll jetzt gleich der doppelsumme sein und daraus soll man neuesten erkenntnissen nach schließen können, dass die einträge der matrix gleich dem beliebigen skalarprodukt der einheitsvektoren ist.
langsam wirds komplex ^^

EDIT:
die dreifachsumme liefert nur dann einen wert wenn i = l
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k a_{lk} w_l \end{eqnarray*}$
also ist
$\begin{eqnarray*} a_{lk}=\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle = a_{kl} \end{eqnarray*}$
woraus folgt, A = A^T -> symmetrisch

EDIT:
wie kommt jetzt $\begin{eqnarray*} x^T A x > 0 \end{eqnarray*}$ ins Spiel, mal davon abgesehen, dass mir nicht klar ist waurm das überhaupt gelten muss.

23.10.2011, 16:17

system-agent

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OK, vielleich war meine Wahl von $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ für das allgemeine Skalarprodukt ein wenig unglücklich, denn ich sehe dass du damit gerne ebenfalls das euklidische Skalarprodukt bezeichnest.

Nennen wir das allgemeine Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ dann eben $\begin{eqnarray*} s(v,w) \end{eqnarray*}$ .
Berechnest du dann $\begin{eqnarray*} s(v,w) \end{eqnarray*}$ , dann kriegst du, wie du schon richtig ausgerechnet hast, gerade
$\begin{eqnarray*} s(v,w)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nv_iw_js(e_i,e_j) \end{eqnarray*}$ (*).

So, nun sind natürlich $\begin{eqnarray*} s(e_i,e_j) \end{eqnarray*}$ einfach irgendwelche Zahlen, die durch die Definition des Skalarproduktes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ festgelegt sind.
Jetzt taufe diese Zahlen einfach mal um: $\begin{eqnarray*} a_{ij}:=s(e_i,e_j) \end{eqnarray*}$ und fasse diese Zahlen zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zusammen, also $\begin{eqnarray*} A:=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ .

OK, bisher ist nichts passiert, es wurde nur etwas umbenannt. Du musst nun die folgenden drei Dinge verifizieren:
(i) $\begin{eqnarray*} \langle Av,w\rangle=s(v,w) \end{eqnarray*}$ [Hier ist jetzt mit $\begin{eqnarray*} \langle Av,w\rangle \end{eqnarray*}$ das euklidische Skalarprodukt der beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} Av \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ gemeint. Hinweis: schau nochmals ganz scharf (*) an]
(ii) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch. [Hinweis: $\begin{eqnarray*} a_{ij}=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ji}=? \end{eqnarray*}$ ]
(iii) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist positiv definit, das heisst für $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} v^TAv>0 \end{eqnarray*}$ gelten. [Hinweis: $\begin{eqnarray*} v^TAv=\langle A^Tv,w\rangle \end{eqnarray*}$ und Punkte (i) und (ii)]

23.10.2011, 16:57

decrux

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ich führe meinen editierten post mal hier fort:

Es soll jetzt $\begin{eqnarray*} v^T A v = \langle A^T v,v \rangle = \langle A v,v \rangle > 0 \end{eqnarray*}$ gelten, was gilt weil
$\begin{eqnarray*} \langle A v,v \rangle = s\langle v,v \rangle > 0 \end{eqnarray*}$ wegen der definitheit des Skalarprodukts.

1. warum ist aber $\begin{eqnarray*} v^T A v >0 \end{eqnarray*}$ überhaupt ein kriterium dafür?

2. kann man die tatsache, dass man summenzeichen einfach aus dem skalarprodukt zieht auch etwas einfacher sehen?

3. warum kann ich einfach irgendwelche zahlen zu einer matrix zusammenfassen und dann damit was fordern (siehe Hinweis (i))

4. bei deinem letzten hinweis soll wohl v = w

23.10.2011, 17:10

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
1. warum ist aber $\begin{eqnarray*} v^T A v >0 \end{eqnarray*}$ überhaupt ein kriterium dafür?

Das ist die Definition für positive Definitheit einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Wie habt ihr es denn definiert?

Zitat:

Original von decrux
2. kann man die tatsache, dass man summenzeichen einfach aus dem skalarprodukt zieht auch etwas einfacher sehen?

Was meinst du denn mit "einfacher"? Ein Skalarprodukt ist per Definition unter anderem bilinear - nichts anderes nutzt du hier.

Zitat:

Original von decrux
3. warum kann ich einfach irgendwelche zahlen zu einer matrix zusammenfassen und dann damit was fordern (siehe Hinweis (i))

Naja, das gegebene Skalarprodukt definiert ja gewisse Zahlen, eben die $\begin{eqnarray*} s(e_i,e_j) \end{eqnarray*}$ . In der Aufgabe steht ja, dass du eine Matrix finden sollst, damit irgendwas gilt. Ich habe dir damit nur gesagt wie du die Matrix definieren kann [sprich ich habe dir gesagt was du als Einträge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nutzen sollst].
Natürlich musst du dann eben überprüfen dass ich richtig gelegen habe [was ich dir in den drei zu zeigenden Punkten (i), (ii) und (iii) gegeben habe].

Zitat:

Original von decrux
4. bei deinem letzten hinweis soll wohl v = w

Du hast Recht Freude

. Sorry.

23.10.2011, 17:17

decrux

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Def. spd-Matrix:
Matrix A ist spd wenn A = A^T und alle eigenwerte sind positiv

zu 2. ich muss mir das wohl nochmal ausschreiben

zu 3. ok

danke erstmal, ich versuch nochmal alles sauber niederzuschreiben

23.10.2011, 17:30

system-agent

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OK. Dann weisst du jetzt zb dass $\begin{eqnarray*} v^TAv>0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ .
Sei also jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert und $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ ein zugehöriger Eigenvektor. Betrachte in diesem Fall mal $\begin{eqnarray*} v^TAv \end{eqnarray*}$ und wende das an was du schon weisst.

23.10.2011, 18:06

decrux

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Ich gehe aus von:
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k ;\ \vec{w} = \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} s\langle \vec{v},\vec{w} \rangle = s\langle \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k w_l \ s\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$

Wegen der Bilinearität ließen sich die Summenzeichen rausziehen
Jetzt soll gelten: $\begin{eqnarray*} s\langle\vec{v},\vec{w} \rangle = \langle A \vec{v},\vec{w} \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \langle A \vec{v},\vec{w} \rangle =\langle A \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_k, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \langle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n v_k \vec{e}_i a_{i k}, \sum\limits_{l=1}^n w_l \vec{e}_l \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k a_{ik} w_l \langle \vec{e}_i,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{e}_i,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \not= l \end{eqnarray*}$

Die Dreifachsumme wird dann zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k a_{lk} w_l \end{eqnarray*}$

Ein Vergleich mit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k w_l \ s\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$ liefert: $\begin{eqnarray*} a_{lk}=\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle = a_{kl} \Rightarrow A = A^T \Rightarrow \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

Die einzelnen Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind gegeben durch $\begin{eqnarray*} a_{lk}=\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$

Bleibt nur noch zu zeigen, dass A positiv definit ist:

A ist positiv definit <=> $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} = \langle A \vec{x},\vec{x}\rangle > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle A \vec{x},\vec{x}\rangle = s\langle \vec{x},\vec{x}\rangle > 0 \end{eqnarray*}$ wegen der Definitheit des allg. SP

Damit ist es gezeigt.

23.10.2011, 18:08

decrux

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der bezug zum eigenwert ist mir noch nicht klar

Ich weiß dass: $\begin{eqnarray*} A\vec{x}=\lambda\vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} > 0 \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 18:54

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
Ein Vergleich mit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{l=1}^n v_k w_l \ s\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle \end{eqnarray*}$ liefert: $\begin{eqnarray*} a_{lk}=\langle \vec{e}_k,\vec{e}_l \rangle = a_{kl} \Rightarrow A = A^T \Rightarrow \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

Das ist ein bischen komisch aufgeschrieben.

Du hast nun einerseits $\begin{eqnarray*} s(\vec{v},\vec{w}) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und andererseits $\begin{eqnarray*} \langle A\vec{v},\vec{w}\rangle \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Willst du nun dass $\begin{eqnarray*} s(\vec{v},\vec{w})=\langle A\vec{v},\vec{w}\rangle \end{eqnarray*}$ gilt, dann muss $\begin{eqnarray*} s(\vec{e_l},\vec{e_k})=a_{lk} \end{eqnarray*}$ gelten.

Das zeigt aber noch nicht dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist. Vielmehr ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch, weil $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Bilinearform ist:
$\begin{eqnarray*} a_{lk}=s(\vec{e_l},\vec{e_k})=s(\vec{e_k},\vec{e_l})=a_{kl} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von decrux
A ist positiv definit <=> $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} = \langle A \vec{x},\vec{x}\rangle > 0 \end{eqnarray*}$

...für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Nur falls ihr wirklich bloss die Definition der positiven Definitheit einer symmetrischen Matrix via Eigenwerte gesehen habt, dann reicht das für dich noch nicht.

Zitat:

Original von decrux
der bezug zum eigenwert ist mir noch nicht klar

Ich weiß dass: $\begin{eqnarray*} A\vec{x}=\lambda\vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} > 0 \end{eqnarray*}$

Ja, und was passiert wenn du die erste Gleichheit mal in die zweite Ungleichheit einsetzt? [Beachte, $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ muss ein Eigenvektor sein - und als solcher gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x}\neq0 \end{eqnarray*}$ ].

23.10.2011, 19:18

decrux

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das mit dem umstellen und der symmetrie hab ich so gemeint, wie du es gesagt hast.
ich kann die gleichheit umformen zu ... = 0 und das in die ungleichheit einsetzen.

habe dann $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} > (A - \lambda E)\vec{x} \end{eqnarray*}$

müsste halt irgendwie nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen können und daraus sehen, dass es größer 0 ist

23.10.2011, 19:40

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
habe dann $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A \vec{x} > (A - \lambda E)\vec{x} \end{eqnarray*}$

Das ist Unsinn. Links steht eine reelle Zahl und rechts ein Vektor.

Hinweis:
$\begin{eqnarray*} 0<\vec{x}^TA\vec{x}=\vec{x}^T(A\vec{x})=\vec{x}^T(?) \end{eqnarray*}$ und was weisst du über $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T\vec{x} \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2011, 20:17

decrux

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das ist tatsächlich unsinn^^
jetzt ist der groschen gefallen

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^T\vec{x}=|x|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<\vec{x}^T A \vec{x}=\vec{x}^T \lambda \vec{x}=\lambda \vec{x}^T \vec{x}=\lambda|\vec{x}|^2 => \lambda > 0 \end{eqnarray*}$

allerdings wenn ich nicht weiß dass $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A\vec{x}>0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, komm ich dann überhaupt drauf dass die Matrix pd sein muss?

23.10.2011, 20:37

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
jetzt ist der groschen gefallen

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^T\vec{x}=|x|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<\vec{x}^T A \vec{x}=\vec{x}^T \lambda \vec{x}=\lambda \vec{x}^T \vec{x}=\lambda|\vec{x}|^2 => \lambda > 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von decrux
allerdings wenn ich nicht weiß dass $\begin{eqnarray*} \vec{x}^T A\vec{x}>0 \end{eqnarray*}$ gelten muss, komm ich dann überhaupt drauf dass die Matrix pd sein muss?

Es gilt allgemein folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit Dimension $\begin{eqnarray*} n<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s: V\times V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine bilineare Abbildung.
Zu $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und einer Basis $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ definiere die Matrix $\begin{eqnarray*} A:=(s(v_i,v_j)) \end{eqnarray*}$ [also wie wir das oben gemacht haben].

Dann gilt immer $\begin{eqnarray*} s(v,w)=v^TAw \end{eqnarray*}$ [sofern man $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mit den zugehörigen Koordinatenvektoren identifiziert] und zusätzlich ist $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ genau dann symmetrisch, falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist genau dann positiv definit, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ positiv definit ist.

Von dem her weisst du schon vorher, dass deine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ positiv definit sein muss. Und deshalb ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ auch "natürlicher" als Definition der positiven Definitheit als via Eigenwerte [was dann sowieso nur für symmetrische Matrizen gilt].

23.10.2011, 21:10

decrux

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das ist mir zu wenig konkret. bei der aufgabe steht als Hinweis:

Hinweis: Die Einträge der Matrix A kann man durch Einsetzen geeigneter Vektoren ~x
und ~y erhalten. Die Eigenschaften von A ergeben sich dann aus denen des Skalarprodukts.

dann in der vorlesung hatten wir:
symmetrisch => es gibt ein orthonormalsystem aus eigenvektoren.
aber irgendwie bleibt es bisschen undurchsichtig.

23.10.2011, 21:16

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
das ist mir zu wenig konkret.

Dann musst du schon präziser werden.

Zitat:

Original von decrux
bei der aufgabe steht als Hinweis:

Hinweis: Die Einträge der Matrix A kann man durch Einsetzen geeigneter Vektoren ~x
und ~y erhalten. Die Eigenschaften von A ergeben sich dann aus denen des Skalarprodukts.

Das hast du doch gemacht. Die Matrix hat als Einträge die Werte des Skalarprodukts auf den Basisvektoren.

Zitat:

Original von decrux
dann in der vorlesung hatten wir:
symmetrisch => es gibt ein orthonormalsystem aus eigenvektoren.
aber irgendwie bleibt es bisschen undurchsichtig.

Das brauchst du, sonst ist eure Definition von positiver Definitheit sinnlos [der Satz sagt nämlich dass ein symmetrische Matrix über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist].

23.10.2011, 21:22

decrux

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zu wenig konkret weil: "dann gilt immer..." warum?
ja, die einträge sind gefunden, aber die eigenschaften nicht alle gefolgert. symmetrie ja, aber positive definitheit nur über diesen "trick".

vielleicht gehts irgendwie über die diagonalisierbarkeit das zu zeigen.
wahrscheinlich eine triviale frage: warum ist dann die definition von positiver definitheit sinnlos?
warum es ein orthonormalsystem gibt, das schlag ich nach, hab ich nämlich schonmal gelesen.

Mir tun meine vielen Fragen ja auch leid, aber ich fühl mich manchmal so verloren und ich möchts ja auch verstehen, was ich so hinschreib

24.10.2011, 10:48

system-agent

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Zitat:

Original von decrux
zu wenig konkret weil: "dann gilt immer..." warum?

Das hast du eben bewiesen Augenzwinkern

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nennt man auch die Matrix der Bilinearform $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ [bezüglich einer gewählten Basis].
Das ist ja gerade die Bemerkung die du aus der Aufgabe mitnehmen sollst:
Jede Bilinearform kann man [ähnlich wie lineare Abbildungen] auch mit Matrizen beschreiben, sobald man eine Basis gewählt hat. Das ist das was es in der Aufgabe zu zeigen gab.
Ausserdem hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ genau dann symmetrisch ist, wenn es die beschreibende Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist.

Was die positive Definitheit angeht:
Allgemein heisst eine Bilinearform $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ positiv definit, falls für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} s(v,v)>0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Mit deiner Aufgabe hast du gesehen, dass ganz allgemein $\begin{eqnarray*} s(v,w)=v^TAw \end{eqnarray*}$ gilt.
Deshalb gibt man meistens die allgemeinere Definition:
Eine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist genau dann positiv definit, falls für alle $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} v^TMv>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Das was du als Definition genannt hast, das setzt eben voraus dass die Matrix symmetrisch ist. Schau nochmals in der Vorlesung nach, wahrscheinlich war das eher doch nicht die allgemeine Definition der positiven Definitheit.

Speziell bei deinem Beweis ist aber kein Trick dabei. Es ist sehr leicht zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{x}^TA\vec{x}>0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} \vec{x}\neq0 \end{eqnarray*}$ [da $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ positiv definit ist], denn das war ja schliesslich gerade die Aufgabe. Ab dann ist es nur noch einsetzen um zu zeigen, dass die Eigenwerte positiv sind.

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