lim inf, lim sup, Aufgabe Alternierende Reihe

03.01.2007, 21:02

Rudy

lim inf, lim sup, Aufgabe Alternierende Reihe

Hallo, folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ sei monoton fallend und $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A_n)_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ sei die zugehöhrigende alternierende Reihe

Zeigen Sie, dass

a) $\begin{eqnarray*} lim\; inf_{n \rightarrow \infty} A_n = \lim_{n \rightarrow \infty} A_{2n+1} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} lim\; sup_{n \rightarrow \infty} A_n= \lim_{n \rightarrow \infty} A_{2n} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} lim \; sup_{n \rightarrow \infty} A_n - lim \;inf_{n \rightarrow \infty} A_n= \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \end{eqnarray*}$

Es gibt nun eine Regel, die besagt, dass

$\begin{eqnarray*} (A_{2n})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ monoton fallend

und

$\begin{eqnarray*} (A_{2n+1})_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist.

Aus der Monotonie kann ich ableiten, dass der Limes existiert.

Dann weiß ich, dass die Häufungswerte der lim sup und lim inf sind.

Die Häufungswerte der alternierenden Reihe (-1)^n sind ja bekanntlicherweise 1 und minus 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} a_{2k}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} a_{2k+1}=-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich ein Problem, das a_0 und a_1 etc. darauf anzuwenden,

Der Häufungswert der alternierenden Reihe A_n muss doch dann sein $\begin{eqnarray*} a_{2k}*1 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} a_{2k+1}*-1 \end{eqnarray*}$

Das scheint mir die völlig falsche Beweisidee.
Freue mich über Hilfe

Grüße,
Rudy

03.01.2007, 21:04

Dual Space

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RE: lim inf, lim sup, Aufgabe Alternierende Reihe

Zitat:

Original von Rudy
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ sei monoton fallend und $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A_n)_{n\ge 0} \end{eqnarray*}$ sei die zugehöhrigende alternierende Reihe

Nicht vielleicht doch eher "Partialsumme"?

03.01.2007, 21:08

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@Rudy

Sehe ich wie Stefan - bei dir herrscht ein gewisses Durcheinander bzgl. der Begriffe Folge und Reihe. Noch ein Beispiel:

Zitat:

Original von Rudy
Die Häufungswerte der alternierenden Reihe (-1)^n sind ja bekanntlicherweise 1 und minus 1.

Bei mir ist das eine alternierende Folge.

03.01.2007, 21:23

Rudy

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Gut, dann gehen wir halt davon aus, dass das die Partialsumme ist, aber helfen tut mir das jetzt leider nicht.

03.01.2007, 21:24

Dual Space

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Rudi - bitte nicht böse sein - aber wir wollten dir damit nur lieb sagen, dass es dir nicht schaden kann erst mal ein wenig sicher mit der Materie zu werden, bevor du dir Hilfe zum Lösen der Aufgaben suchst.

03.01.2007, 21:49

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@Rudy

Schreib doch gleich explizit hin, wie $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A_n) \end{eqnarray*}$ zusammenhängen, dann gibt es keine solchen Missverständnisse. Ich nehme an, es soll

$\begin{eqnarray*} A_n = \sum_{k=0}^n ~ (-1)^k a_k \end{eqnarray*}$

sein (selbstverständlich ist das nicht, die Reihe könnte ja auch mit einem Minus anfangen, also $\begin{eqnarray*} A_n \stackrel{?}{=} \sum_{k=0}^n ~ (-1)^{k+1} a_k \end{eqnarray*}$ ).

Und wenn dann z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ ist (also die Reihenglieder alternierend +1 und -1), dann sind die Häufungswerte von $\begin{eqnarray*} (A_n) \end{eqnarray*}$ durchaus nicht -1 und 1, sondern 0 und 1 - überprüf es selbst...

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