Komposition Bijektiv, Dann Sind Auch 2 Funktionen Bijektiv

23.10.2011, 11:42

Rumpus

Komposition Bijektiv, Dann Sind Auch 2 Funktionen Bijektiv

Meine Frage:
Behauptung: g°f ist bijektiv

Zu beweisen: f und g sind dann auch bijektiv.

Meine Ideen:
Nun, man hat 2 Fälle zu beweisen:

(1) g°f ist injektiv -> f und g sind injektiv
(2) g°f ist surjektiv -> f und g sind surjektiv

Fall (1): Annahme: f ist nicht injektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} x1,x2 \in A, f(x1) = f(x2) \rightarrow x1 \neq x2 \end{eqnarray*}$
Da g°f injektiv ist, haben wir $\begin{eqnarray*} g(f(x1)) = g(f(x2)) \rightarrow x1 = x2 \end{eqnarray*}$ , also Widerspruch. Somit ist f injektiv.

Stimmt das so?

Was wäre nun der nächste Schritt? Ich nehme mal an, dass man nun mit der Tatsache fortfährt, dass f injektiv ist und versucht zu beweisen, dass g injektiv ist.
Ich nehme jetzt aber wieder an, dass g nicht injektiv ist.
Da g°f injektiv ist, haben wir $\begin{eqnarray*} g(f(x1)) = g(f(x2)) \rightarrow x1 = x2 \end{eqnarray*}$ . g ist nicht injektiv, also gilt $\begin{eqnarray*} y1,y2 \in B, g(y1) = g(y2) \rightarrow y1 \neq y2 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} y1 \neq y2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x1) \neq f(x2) \end{eqnarray*}$ muss aber dank der bewiesenen Injektivität von f $\begin{eqnarray*} f(x1) = f(x2) \rightarrow x1 = x2 \end{eqnarray*}$ folgen, aber da $\begin{eqnarray*} f(x1) \neq f(x2) \end{eqnarray*}$ gilt, haben wir einen Widerspruch, und somit ist auch g injektiv.

Kann das so stimmen? Irgendwie hab ich das Gefühl ich mache beim Beweis von g etwas falsch.

Vielen Dank für Eure Zeit.

23.10.2011, 14:15

galoisseinbruder

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Zitat:

g°f ist bijektiv

ist falsch. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}, x\mapsto |x| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}, x\mapsto x \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} g \circ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, x\mapsto x \end{eqnarray*}$ Bijektiv; f und g sinds aber nicht. Welche Zusatzvoraussetzung hast Du unterschlagen?

23.10.2011, 14:56

Rumpus

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Hi galoisseinbruder

Danke für Deine Antwort.

Dass f und g auch surjektiv sein müssen? Dies hätte man aber sicher auch irgendwie beweisen können? Oder welche meinst Du?

23.10.2011, 15:00

galoisseinbruder

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Die Aufgabenstellung lautete sicher nicht:
Zeigen sie: Ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv so auch g und f.

Ich habe ein Gegenbsp. mit g nicht injektiv und f nicht surjektiv angegeben. Von daher konn man so nicht zeigen dass f und g surjektiv sind.

23.10.2011, 15:10

Rumpus

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Die Aufgabenstellung lautete, dass f: A -> B und g: B -> C zwei Funktionen sind. Man solle zeigen, dass g°f bijektiv ist, wenn f und g bijektiv ist. Dann war die Frage halt noch, ob das auch für die Umkehrung gelte (diese Frage).

23.10.2011, 15:11

galoisseinbruder

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Dann habe ich Dir ja die Aufgabe gelöst.

23.10.2011, 19:50

Rumpus

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Ja, schade, aber konntest Du ja nicht wissen.

Ich vergesse halt immer die einfachste Variante, nämlich zuerst nach einem Gegenbeispiel zu schauen. Ich versuche immer gleich drauflos zu beweisen, wie man es am Threadtext erkennen kann.

Trotzdem vielen Dank.

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