Für welche a ....

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23.10.2011, 11:55	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche a .... Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Frage: Für welche a gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse? $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{3} x^3 -ax \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So ich dachte ich setze die Formel gleich und unterscheide die Formel,dadurch das es 2 verschiedene x (also x1 und x2, weil mehr als einen Schnittpunkt) sind. $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{3} x1^3 -ax1 = \frac{a-1}{3} x2^3 -ax2 \end{eqnarray}$ Nun 0 setzen: $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{3} x1^3 -ax1 - \frac{a-1}{3} x2^3 +ax2 =0 \end{eqnarray}$ Und nun, leider kann ich ja a nicht ausklammern, ich könnte aber erstmal mal 3 rechnen, sodass ich den Bruch weghabe, würde mir das etwas nützen?
23.10.2011, 12:01	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Mt deinem Ansatz würdest du untersuchen welche Punkte zwei beliebige Graphen der Schar gemeinsam haben. Das ist hier aber gar nicht gefragt, es geht hier lediglich um die Nullstellen bzw die Anzahl der Lösung der entsprechenden Gleichung dazu.
23.10.2011, 12:07	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war dann wohl falsch. Schade... So die Nullstellen berechne ich indem ich ja die formel =0 setze. So nun müsste ich mich frage wann kommen dennn mehr als eine Lösung raus. Ich denke mal um das besser herauszufinden, sollte ich x erstmal ausklammern? dAMIT HÄTTE ICH JA SCHON EINE LÖSUNG.
23.10.2011, 12:08	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, ausklammern ist eine gute Idee. =)
23.10.2011, 12:16	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
So damit wäre dann die 1.Lösung bereits gefunden (x1=0). 0=x((a-1)/3 x^2 - a) und nun durch (a-1)/3, damit x^2 alleine dasteht?
23.10.2011, 12:22	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Es verbleibt also diese Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{3} \cdot x^2-a=0 \end{eqnarray}$ Wie immer nun bei einer Gleichung der Form rx²+s=0 zuerst das s rüberbringen und dann durch r dividieren.
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23.10.2011, 12:26	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn das so ist, dann kommt nach meiner Rechnung folgendes raus: $\begin{eqnarray} x^2 = \frac{a}{3a-3} \end{eqnarray}$ Ich verstehe und wenn ich nun die Wurzel aus allen ziehen würde, würden 2 Lösung raus kommen (positiv und negativ) und schwups wir haben mehr als eine Lösung. Jetzt muss ich nur noch raubekommen, welche Zahl a ist. Und wie geht das?
23.10.2011, 12:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch umgeformt. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem...
23.10.2011, 12:36	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
... Kehrwert multipliziert. also gut. x^2 = a * 3/(a-1) x^2 = 3a / a-1
23.10.2011, 12:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn man das nun nach x auflöst, steht über dem rechten Term noch was ?
23.10.2011, 12:42	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
x = Wurzel 3a / a-1
23.10.2011, 12:44	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Und damit hätten wir die 2. und 3.Lösung gefunden: x2= Wurzel 3a / a-1 x3= - Wurzel 3a / a-1
23.10.2011, 12:47	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja nicht darum diese Lösungen explizit zu finden, sondern nur zu entscheiden, wann es denn auch wirklich noch weitere Lösungen gibt. Das Entscheidende ist nun - wie so häufig im Zusammenhang mit Funktionsscharen - dass man eine entsprechende Fallunterscheidung für a macht. Denn nicht für alle Wert für a führt das hier zu weiteren Lösungen. Gegenbeispiele a=0 oder a=0,5 oder.... Die Frage ist also: Was muss allgemein für den Term unter der Wurzel gelten, damit auch noch weitere Lösungen entstehen ?
23.10.2011, 12:49	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Wurzel muss der Term >1 sein. Ansonsten kommt keine Lösung raus.
23.10.2011, 12:54	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du gerade auf >1 ?
23.10.2011, 12:58	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
na ich dachte das es im nener nicht null oder eine negative zahl rauskommen darf und bei a-1, muss dann a auf jeden fall größer 1 sein damit nicht 0 und kleiner raus kommt.
23.10.2011, 13:00	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist - wenn überhaupt - nur die halbe Wahrheit. Überlege dir doch erst noch gar nichts in Richtung "was darf ich alles für a einsetzen und was nicht" sondern bringe zunächst mal auf den Punkt was allgemein für den Term unter der Wurzel (Diskriminante) gelten muss, damit noch weitere Lösungen entstehen.
23.10.2011, 13:20	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
na er muss auf jeden fall positiv sein und er darf nicht 0 ergeben(meinst du das?).
23.10.2011, 13:25	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, nur dass in positiv wegen >0 ja eh schon der Fall "gleich null" ausgeschlossen ist. Insofern ist also nun diese Ungleichung zu untersuchen: $\begin{eqnarray} \frac{3a}{a-1}>0 \end{eqnarray}$
23.10.2011, 13:28	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, aber wie geht man bei solcher Untersuchung vor. Schließt man durch alleiniges durchprobieren Zahlen aus oder kann man das errechnen?
23.10.2011, 13:32	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir wann der Wert eines Bruches, also wann eine Division, eine positive Zahll zur Folge hat. Man kann mit diesem Gedankengang genau 2 Fälle unterscheiden. Kommst du drauf ?
23.10.2011, 13:34	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Na entweder wenn der Nenner und Zähler beides negativ oder beides positiv ist. Ist das damit gemeint?
23.10.2011, 13:40	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar Wir haben nun also: Fall 1) 3a>0 und a-1>0 Fall 2) 3a<0 und a-1<0 Für jeden Fall ergibt sich nun ein bestimmte Bereich für a.
23.10.2011, 13:46	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
häää, was soll ich nun machen, das verstehe ich jetzt nicht? Ist das nicht schon die Lösung?
23.10.2011, 13:47	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja das kann man ja nun alles noch schön nach a auflösen. zu Fall1) Für welche a gilt denn 3a>0 ? Für welche a gilt denn a-1>0 ? Was ist der Schnitt dieser beiden Bereiche für a ?
23.10.2011, 13:57	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Fall 1: a>1 a>0 (weil 0:3=0 ist oder?) Für Fall 2: a<1 a<0 (weil 0:3=0 ist oder?) Wenn das bis hierhin stimmt, dann kann man allgemein sagen a muss entweder <0 oder >1 sein.
23.10.2011, 14:00	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Exzellent. Alternative Schreibweise: Es existieren genau dann noch weitere Nullstellen falls a aus IR \ [0;1]
23.10.2011, 14:05	beni94	Auf diesen Beitrag antworten »
... und das wars? Na super, viélen, vielen, lieben Dank Björn. Du bist der Beste
23.10.2011, 14:14	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das war es. Viel Erfolg weiterhin.

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