Vergleich von Urbildmengen

23.10.2011, 12:20

GdM_I

Vergleich von Urbildmengen

Hallo!

Meine Aufgabe:
Es sei f : M --> N eine Abbildung. Finde für das Symbol ? jeweils eine der Mengenbeziehungen $\begin{eqnarray*} \subset , = , \supset \end{eqnarray*}$ , so dass die folgenden Aussagen wahr werden, und beweise die so entstandenen Aussagen!

(b) $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) ? f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Mein Beweis:
Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \supset f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es ist $\begin{eqnarray*} x \in A \cap B\Rightarrow \exists y \in A,B: f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$

Es ist auch $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Und deshalb ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x \in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Nun folgt $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \wedge x \in f^{-1}(B)\Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

Habe ich das soweit richtig gemacht? Es scheint analog dem Beweis in meinem Tread "Vergleich von Bildmengen" zu sein.

23.10.2011, 12:39

Shalec

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Der Beweis sieht gut aus insofern $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq N \end{eqnarray*}$ gilt.
Versuche doch nochmal einen Widerspruch in die andere Richtung zu finden Augenzwinkern

d.h. ich behaupte jetzt einfach mal:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A\cap B) \end{eqnarray*}$

kannst du die Behauptung widerlegen?!

der Sinn dahinter ist folgender:

Zwei Mengen heißen Gleich, wenn sie jeweils Teilmenge der anderen sind.
Da hier Gleichheit möglich ist (ich verrate dir noch nicht, was das wirkliche Resultat ist) sollte man beide Richtungen prüfen. Wird ein Widerspruch gefunden, so gilt Ungleichheit.

Hilfestellung: Mache dir solche Aussagen immer erst für einfache Mengen und einfache Abbildungen klar - d.h. konstruiere dir einen Fall, der den Forderungen entspricht und skizziere alle 4 Mengen Augenzwinkern

23.10.2011, 12:39

Pascal95

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Sieht gut aus, nur du müsstest schon damit anfangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$ .

23.10.2011, 12:48

GdM_I

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@Pascal95: Du hast recht, danke.

@Shalec: Stimmt, $\begin{eqnarray*} A,B \subset N \end{eqnarray*}$ ist vorgegeben, das habe ich verschluddert geschockt

. Ich mach mich gleich mal an den Beweis für die umgekehrte Richtung.

23.10.2011, 13:27

GdM_I

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Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A,B \subset N \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es sei $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \Rightarrow\exists y \in A \cap B:f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x\in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x\in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Nun folgt $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \wedge x \in f^{-1}(B)\Rightarrow x\in f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$

was zu beweisen war.

Desweiteren:

Es ist $\begin{eqnarray*} (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B)) \wedge (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \supset f^{-1}(A \cap B))\Rightarrow (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) = f^{-1}(A \cap B)) \end{eqnarray*}$

Ich hab hier also eine Gleichheit bewiesen. Hm, das hätte ich doch eigentlich auch im Thread "Vergleich von Bildmengen" herausbekommen müssen...Habe ich einen Fehler gemacht?

23.10.2011, 16:12

Shalec

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Zitat:

Original von GdM_I
Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A,B \subset N \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es sei $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \Rightarrow\exists y \in A \cap B:f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x\in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x\in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Nun folgt $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \wedge x \in f^{-1}(B)\Rightarrow x\in f^{-1}(A \cap B) \end{eqnarray*}$

was zu beweisen war.

Desweiteren:

Es ist $\begin{eqnarray*} (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B)) \wedge (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \supset f^{-1}(A \cap B))\Rightarrow (f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) = f^{-1}(A \cap B)) \end{eqnarray*}$

Ich hab hier also eine Gleichheit bewiesen. Hm, das hätte ich doch eigentlich auch im Thread "Vergleich von Bildmengen" herausbekommen müssen...Habe ich einen Fehler gemacht?

Ja.. da ist was daneben gegangen ^^ hier mal eine kleine Hilfestellung zum Überprüfen der Aussagen: Wiki

du kannst folgendes nicht machen:

$\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \Rightarrow\exists y \in A \cap B:f^{-1}(y)=x \end{eqnarray*}$

du wählst ein Element aus dem Schnitt zweier (Urbild-)Mengen, und sagst, dass das Bild dieses Elementes ( $\begin{eqnarray*} f(x)=y \in A\cap B \end{eqnarray*}$ ) im Schnitt von A und B liegt. Dabei ist aber durchaus zulässig, dass $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h. dass es keine Elemente in A geschnitten B gibt.

du weißt aber, dass die Elemente, die in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ liegen eben jeweils in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ existieren.
D.h. deine zweite Zeile ist wieder richtig.

Dein Schluss muss nun so aussehen dass du aus dieser Tatsache folgern kannst, dass dann ein gemeinsames Element in $\begin{eqnarray*} y\in A\cap B \end{eqnarray*}$ existiert, sodass f(x)=y.

23.10.2011, 17:12

GdM_I

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Ich versuche das gerade nachzuvollziehen.

Wenn ich vorgebe, dass $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ und jedem x genau ein y zugeordnet wird, dann ist $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt doch auch dass $\begin{eqnarray*} y\in A \cap B \end{eqnarray*}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray*} A \cap B = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre doch auch nicht $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ . Wo ist der Denkfehler?

28.10.2011, 17:05

Shalec

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Zitat:

Original von GdM_I
Ich versuche das gerade nachzuvollziehen.

Wenn ich vorgebe, dass $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ und jedem x genau ein y zugeordnet wird, dann ist $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt doch auch dass $\begin{eqnarray*} y\in A \cap B \end{eqnarray*}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray*} A \cap B = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre doch auch nicht $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ . Wo ist der Denkfehler?

Hallo, entschuldige, dass ich erst jetzt wieder was schreibe.. hatte die tage viel um die Ohren.

Also.. Leeremengen sind idR sonderbare Objekte. Für alle Elemente in diesem Mengen gelten alle erdenklichen Eigenschaften (einfacher Nachweis). Ist der Schnitt leer, existieren natürlich keine Elemente in beiden Mengen.

Vergiss aber nicht, die Leeremenge ist Teimenge jeder Menge. D.h. ist $\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ so liegt natürlich das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Beispielsweise nimmst du folgende Abbildungen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \mathbb |x|& x\in A\\ x & x\in B \end{cases} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} f|_A, f|_B, f|_{A\cap B} \end{eqnarray*}$ injektiv (d.h. es existiert eine Umkehrabbildung) und $\begin{eqnarray*} A=\{-n,...,0\},\ B=\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} A\cap B=\{\}=f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B)=\{0,...,n\}\supset \emptyset \end{eqnarray*}$

Denkhinweis: Wenn du mit leeren Mengen arbeitest, kannst es dir inetwa wie die Addition vorstellen.. $\begin{eqnarray*} x+0+0+0+...=x\in X=X\cup \emptyset\cup... \end{eqnarray*}$

liebe Grüße

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