Mächtigkeit endlicher Sigma-Algebra |
| 23.10.2011, 14:26 | tipp12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mächtigkeit endlicher Sigma-Algebra Anschaulich ist klar, dass die Mächtigkeit einer endlichen Sigma-Algebra eine Zweierpotenz sein muss. Doch wie kann man das beweisen? Meine Ideen: Danke für eure Hilfe! |
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| 23.10.2011, 15:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zusammen mit der symmetrischen Differenz ist eine endliche Sigma-Algebra eine endliche Gruppe, in der jedes Element Ordnung 2 hat. Solch eine Gruppe wiederum ist ein -Vektorraum. |
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| 23.10.2011, 17:37 | tipp12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich muss das aber über die Mengen zeigen, die keine echte Teilmenge in der Sigma-Algebra besitzen. (von der leeren Menge mal abgesehen) Ich hab schon bewiesen,dass dieses Mengensystem die ganze Sigma-Algebra erzeugt. Aber wie komm ich damit auf die Aussage über die Mächtigkeit? |
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| 23.10.2011, 20:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du ein bestimmten Weg vorgegeben hast, warum erwähnst du das nicht direkt? Zeige noch, dass diese Mengensystem aus lauter disjunkten Mengen besteht. Dann kannst du noch folgern, dass sich jede Menge der Sigma-Algebra sogar als Vereinigung von gewissen Mengen dieses Mengensystems darstellen lässt. Und dann wird die Aussage klar: Denn ein beliebiges Element der Sigma-Algebra lässt sich dann als Vereinigung von Mengen dieses Mengensystems darstellen. Dabei haben wir bei jeder Menge aus dem Mengensystem 2 Möglichkeiten: Entweder wir nehmen sie mit in die Vereinigung oder wir lassen sie weg. Die Disjunktheit garantiert uns dann, dass diese Darstellung auch in der Tat eindeutig ist. |
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