Ungleichung mit Betragsstrich und zwei unbekannten

23.10.2011, 15:54

dreikommadrei

Ungleichung mit Betragsstrich und zwei unbekannten

Zeigen sie: Für $\begin{eqnarray*} a,b,c \in R^+ \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\leq | a^2-b^2 | \end{eqnarray*}$ für ab>0

Ich hab überlegt über eine Fallunterscheidung an das ganze zu gehen (da ich sonst nicht weiß, wie ich die Betragsstriche umgehen soll.

1. Fall
a>b
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\leq a^2-b^2 \\ a^2-2ab+b^2\leq a^2-b^2 \\ 0 \leq -2b^2+2ab \\ 0 \leq 2b(-b+a) \end{eqnarray*}$

da a>b -> -b+a>0
-> 2b(-b+a)>0

2.Fall
b>a
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\leq -a^2+b^2 \\ a^2-2ab+b^2\leq -a^2+b^2 \\ 0 \leq -2a^2+2ab \\ 0 \leq 2a(b-a) \end{eqnarray*}$

da b>a -> b-a>0
->2a(b-a)>0

3. Fall
a=b
$\begin{eqnarray*} 0\leq 0 \end{eqnarray*}$

Darf ich das so machen? Oder geht das vielleicht auch ohne Fall-Unterscheidung?

24.10.2011, 09:34

klarsoweit

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RE: Ungleichung mit Betragsstrich und zwei unbekannten
Ist soweit richtig, wobei der 2. Fall dem 1. Fall mit vertauschtem a und b entspricht.

24.10.2011, 09:54

René Gruber

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Zitat:

Original von dreikommadrei
Für $\begin{eqnarray*} a,b,c \in R^+ \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\leq | a^2-b^2 | \end{eqnarray*}$ für ab>0

An sich ist dieses zuätzliche für ab>0 überflüssig, da das für $\begin{eqnarray*} a,b \in R^+ \end{eqnarray*}$ sowieso automatisch erfüllt ist. Augenzwinkern

EDIT: Interessanterweise gilt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\leq | a^2-b^2 | \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} ab>0 \end{eqnarray*}$

auch ohne die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a,b\in R^+ \end{eqnarray*}$ . Falls dies so gemeint ist, dann ist der obige Beweis natürlich unzureichend.

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