Erstes Integral berechnen

23.10.2011, 16:31

am121991

Erstes Integral berechnen

Meine Frage:
Hi,
und schon wieder gehts nicht weiter bei den ersten Integralen. Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie ein erstes Integral zur DGL:

$\begin{eqnarray*} \cos(t)u'(t)-\sin(t)u(t)=\tan(t)^2+1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist, ersteinmal die DGL zu lösen, wo schon das erste Problem auftritt, denn ich komme bei der Trennung der Variablen nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} du - u(t)\tan(t)=\frac{\tan(t)^2+1}{\cos(t)} dt \end{eqnarray*}$

danach würde ich dann versuchen irgendwie so was hinzustöpseln... allerdings habe ich da noch keine konkrete Idee?

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

23.10.2011, 16:39

Mulder

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RE: Erstes Integral berechnen

Zitat:

Original von am121991
$\begin{eqnarray*} \cos(t)u'(t)-\sin(t)u(t)=\tan(t)^2+1 \end{eqnarray*}$

Wenn man links die Produktregel erkennt, muss man sich gar nicht rumquälen. Augenzwinkern

23.10.2011, 16:41

am121991

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ja... wenn man die erkennt dann hast du vollkommen recht ;-) Danke!

23.10.2011, 16:44

am121991

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ja gut... jetzt hab ich da stehn:

$\begin{eqnarray*} (\cos(t)u(t))'=\tan(t)^2+1 \end{eqnarray*}$

aber jetzt bin ich schon wieder zu blöd die variablen zu trennen, ich glaub des is net so mein ding... oder muss ich wieder substituieren?

23.10.2011, 16:46

Mulder

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Du kannst jetzt einfach auf beiden Seiten integrieren. Hier muss man keine Variablen trennen. Links steht die Ableitung von (cos(t)*u(t)) und rechts die Ableitung von... ? Sollte bekannt sein.

23.10.2011, 16:55

am121991

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Also ich bin mir da jetzt nicht ganz sicher... aber ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} \cos(t)u(t) = tan(t)^2+t \end{eqnarray*}$

ist das ok so?

23.10.2011, 16:59

Mulder

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Die Ableitung von tan²(t) soll einfach wieder tan²(t) sein? Bitte nicht einfach nur rumraten, das bringt gar nichts.

Ableitung des Tangens

Kleiner Tipp: Mal ein bisschen Standardintegrale und Ableitungen auffrischen. Wenn man solche Sachen nicht weiß, kann man sich nicht sinnvoll mit DGLn beschäftigen.

23.10.2011, 17:00

am121991

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falsch entschuldigung...
eher so:

$\begin{eqnarray*} \cos(t)u(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \end{eqnarray*}$

tut mir leid ich hab einfach des falsche vom zettel abgeschrieben...

23.10.2011, 17:03

am121991

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also wäre dann

$\begin{eqnarray*} u(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)^2} \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 17:42

am121991

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Wenn ich mich jetzt nicht täusch, muss ich doch jetzt eine Funktion E (y(t)) suchen die konstant ist für mein u(t) oder? ich weiß jetzt aber nicht so genau wie ich das anstellen soll?

23.10.2011, 19:10

am121991

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Kann mir hier denn niemand mehr weiterhelfen?

27.10.2011, 20:03

am121991

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noch ein letzter hilfeschrei!!! ich weiß nicht wie ich weitermachen soll :-(

27.10.2011, 20:09

René Gruber

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Zitat:

Original von am121991
$\begin{eqnarray*} \cos(t)u(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell richtig, aber da fehlt noch eine additive Integrationskonstante. Ich weiß ja nicht, ob du die DGL allgemein lösen sollst, oder ob du ein AWP vorliegen hast. verwirrt

27.10.2011, 20:13

am121991

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Danke, dass du mir doch noch hilfst, also, ja die Konstante C kann ich noch hinzufügen, aber wenn ich dann die Integralgrenzen einsetze, dann fällt diese sowieso weg.
Ich habe hier nur die DGL gegeben, kein AWP, sodass ich auch nicht sagen kann, was der Anfangswert ist...

27.10.2011, 20:33

René Gruber

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Zitat:

Original von am121991
aber wenn ich dann die Integralgrenzen einsetze, dann fällt diese sowieso weg.

Von welchen Integralgrenzen sprichst du? Wenn du keine Anfangswerte gegeben hast, also die allgemeine Lösung dieser DGL bestimmen sollst, dann fällt diese Integrationskonstante NICHT weg, sondern gehört als Parameter mit zur allgemeinen Lösung! unglücklich

27.10.2011, 20:38

am121991

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Ja richtig...
gut dann hab ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} u(t) = \frac{\frac{\sin(t)}{\cos(t)} - \frac{\sin(t_0)}{\cos(t_0)} - \cos(t_0)u(t_0)}{\cos(t)} \end{eqnarray*}$

oder wenn ich $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ weglasse, weil ich es ja nicht kenne...

$\begin{eqnarray*} u(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)^2} + C \end{eqnarray*}$

oder verstehe ich da was falsch?

27.10.2011, 21:05

René Gruber

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Zitat:

Original von am121991
$\begin{eqnarray*} u(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)^2} + C \end{eqnarray*}$

Nein! Die Integrationskonstante entstand oben nach dem Integrieren, nachfolgenden Umformungen wird sie mit unterzogen, d.h. richtig ist

$\begin{eqnarray*} u(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)^2} + \frac{C}{\cos(t)} = \frac{\tan(t)+C}{\cos(t)} \end{eqnarray*}$ .

27.10.2011, 21:09

am121991

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Ja stimmt ja... das C kommt ja dazu bevor ich durch cos(t) teile, gut jetzt hab ich die allgemeine Lösung, aber das sagt mir irgendwie immer noch nicht, wie ich jetzt das erste Integral berechnen kann, denn wir haben weder ein Beispiel gemacht noch ein System nach dem man das berechnen kann oder sonstige Hinweise...
Ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll... durch rumprobieren kommt man wie ich festgestellt habe nicht sehr weit!

27.10.2011, 21:11

René Gruber

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Zitat:

Original von am121991
aber das sagt mir irgendwie immer noch nicht, wie ich jetzt das erste Integral berechnen kann

Da kann ich dir nicht helfen, denn mir ist dieser Begriff bisher nicht begegnet.

27.10.2011, 21:12

am121991

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Das ist sehr schade, denn darum gings mir eigentlich... aber danke trotzdem Wink

28.10.2011, 18:39

Cel

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Dann möchte ich mal an vorderste Front preschen. Big Laugh

Zunächst einmal benötigt man für ein erstes Integral nicht unbedingt die allgemeine Lösung. Aber wir können sie hier benutzen. Man kann auch allgemein sagen, dass eine Lösung $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ vorliegt und dann die Konstantheit des 1. Integrals (wenn gefunden) mit dem totalen Differential machen. Aber da wir die Lösung nun haben, würde ich sagen, wir benutzen sie auch. Augenzwinkern

Deine DGL, am121991, ist eine exakte DGL. Für sie gibt es einen Wikiartikel, in dem auch gezeigt wird, wie man ein erstes Integral findet. Deine erste Aufgabe ist es, die Funktionen $\begin{eqnarray*} q(t,u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(t,u) \end{eqnarray*}$ zu finden.

Vielleicht bekommst du ja auch schon mehr hin, guck einfach mal.

Edit: Übrigens beinhaltet der Wikiartikel auch eine Definition eines 1. Integrals für zeitabhängige DGL. Dort muss nämlich für ein Integral $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} F(t,u(t)) = const \end{eqnarray*}$ für jede Lösung $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ .

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