Vollständige Induktion mit 2 Summenformeln

23.10.2011, 17:43	Kinggg	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit 2 Summenformeln Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe ist: Zeigen sie, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = (\sum\limits_{k=1}^n k)^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also mein IA ist: n=1 1^3 = 1^2 Stimmt also. IS: n-> (n+1) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n+1 k^3 = (\sum\limits_{k=1}^n+1 k)^2 \end{eqnarray}$ nun weiß ich nicht, wie ich umformen soll, um weiter zu kommen.
23.10.2011, 18:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion mit 2 Summenformeln Die Induktionsverankerung stimmt, korrekt. Induktionsvoraussetzung ist, daß man die Behauptung für n gezeigt habe. Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^n k^3+(n+1)^3=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2+(n+1)^3 \end{eqnarray}$ Da kannst Du weitermachen.
23.10.2011, 18:07	Wetal	Auf diesen Beitrag antworten »
du nimmst an, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^3 = \left( \sum_{k=1}^n \right)^2 \end{eqnarray}$ damit versuchst du diese gleichheit zu zeigen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 \end{eqnarray}$ das könnte man z.b. machen, indem man jeweils links und rechts anfängt und soweit umformt, bis man aus beiden das gleiche herausbekommt. z.b. wenn ich mit der linken summe anfange: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left( \sum_{k=1}^{n} k \right) + (n+1)^3 \end{eqnarray}$ dann darfst du die voraussetzung oben anwenden usw.. edit: zu spät :P
23.10.2011, 18:24	Kinggg	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon einmal danke für eure Antworten Ich verstehe aber nicht ganz warum ihr auf der rechten Seite zu (n+1)³ kommt müsste man nicht $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1}^n k+(n+1))^2 \end{eqnarray}$ schreiben? Aber falls ihr Recht habt, kann ich ja eigentlich einfach die (n+1)³ wieder streichen und hab dann wieder die Annahme?
23.10.2011, 18:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Summand, der zu der vorherigen Summe (bis n) noch dazu kommt. Die alte Summe bis n kannst Du aufgrund der Induktionvoraussetzung umschreiben (in die rechte Seite der Behauptung) und dazu kommt dann noch der zusätzliche neue Summand $\begin{eqnarray} (n+1)^3 \end{eqnarray}$ . Du kannst das aber jetzt nicht einfach wegstreichen. Du musst es so umformen, bis klar wird, daß die Behauptung auch für (n+1) gilt. (Wetal hat Dir ja aufgeschrieben, was da am Ende stehen muss.)

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