Äquivalenz von Aussagen

23.10.2011, 18:13	GdM_I	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Aussagen Hallo! Meine Aufgabe: Welche der folgenden Aussagen sind für beliebige gegebene x und M äquivalent zueinander? Zeige jeweils die Äquivalenz bzw. widerlege sie durch ein Gegenbeispiel. (a) $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \left\{ x\right\} \subset M \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} \left\{ x\right\} \cap M \neq \left\{\right\} \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} \left\{ x\right\} \in M \end{eqnarray}$ (e) $\begin{eqnarray} \left\{ x\right\} \backslash M = \left\{\right\} \end{eqnarray}$ (f) $\begin{eqnarray} M \backslash\left\{ x\right\}= \left\{\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mir ist der formale Ablauf nicht ganz klar. Ich weiß, dass ich Äquivalenzen zeige, indem ich jede Richtung separat Beweise, also "=>" und "<=". Beispiel: Behauptung: $\begin{eqnarray} x \in M \Longleftrightarrow \left\{ x\right\} \subset M \end{eqnarray}$ Beweis: "=>": Es ist $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ . Jedes Element kann als einelementige Menge betrachtet werden. Diese einelementige Menge ist dann Teilmenge der Menge des Elements, da das Element in beiden Mengen vorhanden ist. Beweis Ende. "<=": siehe "=>". Beweis Ende. Darf ich das so machen?
23.10.2011, 19:34	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zu schwammig. Verwende $\begin{eqnarray} A \subseteq B \Leftrightarrow x \in A \rightarrow x \in B \end{eqnarray}$
23.10.2011, 21:41	GdM_I	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Ich versuch´s mal: Behauptung: $\begin{eqnarray} x \in M \Longleftrightarrow \left\{ x\right\} \subset M \end{eqnarray}$ Beweis: Es ist $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in \left\{ x\right\} \subset M \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} A = \left\{ x\right\} \end{eqnarray}$ Dann gilt wegen allgemein $\begin{eqnarray} A\subset B \Longleftrightarrow x \in A \rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ hier $\begin{eqnarray} A\subset M \Longleftrightarrow x \in A \rightarrow x \in M \end{eqnarray}$ Damit ist die Äquivalenz bewiesen. Wenn ich es richtig gemacht habe, erspare ich mir so den Beweis in beide Richtungen durch den Satz $\begin{eqnarray} A\subset B \Longleftrightarrow x \in A \rightarrow x \in B \end{eqnarray}$ . Habe ich das richtig verstanden?
23.10.2011, 22:20	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wa du bisher gamacht hast ist okay, aber jetzt musst du noch $\begin{eqnarray} x \in A \rightarrow x \in M \Leftrightarrow x \in M \end{eqnarray}$ zeigen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »