Beweis: f ist irreduzible

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Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: f ist irreduzible
Hallo ihr Lieben,

ich versuche gerade eine Übungsaufgabe zu lösen und verstehe nicht, wie ich ansetzen soll.
Ich soll beweisen, dass f genau dann irreduzibel ist, wenn f keine Nullstellen in K hat. K ist ein beliebiger Körper und f Element K[x] mit grad(f) Element {2,3}.

Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich? Also wenn ich den Begriff irreduzibel höre, weiß ich immer nur sofort, dass f dann keine Nullstellen hat, aber genau das soll ich hier ja erstmal zeigen. Was heißt irreduzibel denn sonst genau?

Danke im Voraus.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Irreduzibel bedeutet, dass f nicht in in ein Produkt mehrerer Polynome zerlegt werden kann.

Wenn f reduzibel ist, also zerlegbar in zwei Polynome mit f=g*h, welchen Grad haben dann g und h? Was ist also mit Nullstellen?
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Dann gilt, dass grad (g) < grad (f) und h ist glaube ich eine Einheit, also grad (h) < grad (f). Und es gilt, dass g f teilt. Aber was mir das über Nullstellen sagt, sehe ich rein gar nicht...
Vielleicht das g Nullstelle von f ist? Aber dann wäre ja genau das Gegenteil bewiesen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Oh je, da musst du aber nochmal so einiges nachschlagen zum Theme Irreduzibilität. f reduzibel bedeutet, dass es eine Zerlegung in g,h gibt, so dass g und h eben KEINE Einheiten sind. Sonst wäre das doch sinnlos, denn eine Zerlegung in beliebig viele Einheiten gibt's immer.

Nehmen wir also mal an, f wäre reduzibel mit f=g*h.

Dann ist logischerweise grad(f)=grad(g*h).

Nun ist in einem Körper aber grad(g*h)=grad(g)+grad(h).
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Mmh ja, wir haben das Thema erst in der letzten Vorlesung behandelt und ich verstehe es nicht so ganz. Das ein ganz bestimmtes Polynom nicht irreduzibel ist, kann ich zeigen (Nullstellen suchen und als Produkt von Faktoren darstellen), aber mit diesen ganzen allgemeinen Zusammenhängen habe ich Probleme. unglücklich

Aber was sagt mir denn der Grad bzgl. der Nullstellen? Jedes Polynom unabhängig von Grad könnte doch NS haben.
Also wenn f reduzibel ist, lässt sich f als Produkt irreduzibler Faktoren darstellen, also f=g*h mit g und h = irreduzible, d.h. g und h haben keine Nullstellen. Aber da wären wir wieder bei dem Kreislauf, so gehe ich ja wieder selbstverständlich davon aus, dass irreduzibel heißt, keine NS zu haben.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Zitat:
Original von Jaso
Aber was sagt mir denn der Grad bzgl. der Nullstellen? Jedes Polynom unabhängig von Grad könnte doch NS haben.

90% der Aufgabe sind mit dem folgenden schon gelöst:

Zitat:
Dann ist logischerweise grad(f)=grad(g*h). Nun ist in einem Körper aber grad(g*h)=grad(g)+grad(h).

Ein Polynom von Grad 1 hat immer eine Nullstelle, denn das ist eine nicht konstante Gerade. f(x)=ax+b. Das kann man immer nach 0 auflösen und findet eine Lösung. Denn wir sind in einem Körper.

Und wenn ein Polynom vom Grad 3 reduzibel ist? Welchen Grad können dann (wenn wir bei f=g*h bleiben) g und h eigentlich haben? Wie gesagt: Mit den Gradformeln hat man eigentlich sofort alles im Sack.
 
 
Jaso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: f ist irreduzible
Ahh Hammer
Vielen Dank, ich habs verstanden. Ich habe absolut nicht darauf geachtet, dass f den Grad 2 oder 3 hat und bin vom Allgemeinen ausgegangen... Danke.
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