verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

24.10.2011, 11:09

netcrack

verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

moin mion,

ich habe gerade einen Beweiß (Vollständige Induktion) der oben genannten Ungleichung gesehen und komme da nicht so ganz mit.

Also ich schreib ihn mal auf:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1+x_k)>=1+\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

Für n=1

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^1 (1+x_k) = 1+x_1 \ge 1+\sum_{k=1}^1 x_k = 1+x_1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k)>=1+\sum_{k=1}^{n+1} x_k \end{eqnarray*}$ unter der Induktionsvoraussetzung (IV), dass $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1+x_k)>=1+\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ für ein n bewiesen ist.
$\begin{eqnarray*} <br /> \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) = (\prod_{k=1}^n (1+x_k)) \cdot (1+x_{n+1})\ge (IV) (1+\sum_{k=1}^{n+1} x_k) \cdot (1+x_{n+1}) \ge 1+x_{n+1} + \sum_{k=1}^n x_k + x_{n+1} \cdot \sum_{k=1}^n x_k = 1 + \sum_{k=1}^{n+1} x_k + x_{n+1} \cdot \sum_{k=1}^n x_k \ \ge 1+\sum_{k=1}^{n+1} x_k \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \cdot \sum_{k=1}^n x_k \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist

so ^^

Also ich bin bei $\begin{eqnarray*} (1+\sum_{k=1}^{n+1} x_k) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ausgestiegen -.- Warum wird hier mit $\begin{eqnarray*} (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ multiplizeirt?

Danke schon mal für die Hilfe.

24.10.2011, 11:16

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

Zitat:

Original von netcrack
Also ich bin bei $\begin{eqnarray*} (1+\sum_{k=1}^{n+1} x_k) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ausgestiegen -.- Warum wird hier mit $\begin{eqnarray*} (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ multiplizeirt?

Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} (1+\sum_{k=1}^{n} x_k) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ heißen.

Und die eigentliche Frage ist, ob du verstanden hast, daß $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) = (\prod_{k=1}^n (1+x_k)) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ist?

Nebenbei muß wohl noch die Bedingung gelten, daß x_k >= 0 ist.

Und es heißt "Beweis" und nicht "Beweiß". Denn es wird da ja nichts weiß gemacht. Augenzwinkern

24.10.2011, 11:33

netcrack

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} (1+\sum_{k=1}^{n} x_k) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ heißen....

Sorry für die Rechtschreibung^^!

Also genau das habe ich mir ja auch gedacht!
Aber es steht so da :
http://matheplanet.com/default3.html?article=1170
Unter Lösung Aufgabe 2 kannst dich selber davon überzeugen.

doch das hatte ich noch verstanden.

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} (1+x_k) = (1+x_1)(1+x_2) \cdot \cdot \cdot (1+x_n)(1+x_{n+1}) =(\prod_{k=1}^{n} (1+x_k)) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$

24.10.2011, 12:00

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung

Zitat:

Original von netcrack
Aber es steht so da :
http://matheplanet.com/default3.html?article=1170
Unter Lösung Aufgabe 2 kannst dich selber davon überzeugen.

Das ist dort auch falsch. Ist übrigens nicht der einzige Fehler, den ich dort gefunden habe.

Sind damit deine Fragen geklärt?

24.10.2011, 12:20

netcrack

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
nein... den Schritt danach verstehe ich auch nicht. Kannst du mir da vieleicht auch ein bisschen auf die Sprünge helfen?

24.10.2011, 12:55

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Das ist doch nur das Anwenden der IV auf $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n} (1+x_k) \end{eqnarray*}$ .

24.10.2011, 13:04

netcrack

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
versteh ich nicht ^^

24.10.2011, 13:20

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Das ist doch das grundlegende Prinzip der vollständigen Induktion.

Du darfst im Induktionsschritt die Aussage $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1+x_k)>=1+\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ als gegeben voraussetzen.

24.10.2011, 13:54

netcrack

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Ich verstehe nicht wie ich auf folgende Summe komme:

$\begin{eqnarray*} 1+x_{n+1} + \sum_{k=1}^n x_k + x_{n+1} \cdot \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$

Was genau wird denn da gemacht, ^^ ich stehe heute voll auf dem Schlauch glaube ich -.- Aber ist ja auch Montag.

Mfg
ich

24.10.2011, 14:06

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Da werden doch einfach nur die Klammern ausmultipliziert.

24.10.2011, 14:31

netcrack

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
oh man ^^ klar!!!!! das habe ich einfach nicht gesehen !!!!!!

Vielen dank für die Hilfe!!

28.10.2012, 03:26

akamanston

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
hi, ich habe bei dem beweis auch ein problem^^
da wo das problem von netcrack endet, beginnt meins. ich hab zwar eine perfekte lösung im buch, aber ich kann mir nicht erklären was danach folgt....
plötzlich verschwindet im buch das x(n+1) ... aber wieso?

[attach]26380[/attach]

29.10.2012, 09:06

klarsoweit

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RE: verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
Könntest du etwas genauer beschreiben, welchen Umformungsschritt du meinst?

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