äquivalenz von 2 Mengen

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24.10.2011, 13:06

pirschi111

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äquivalenz von 2 Mengen

wie kann man $\begin{eqnarray*} A \subseteq b \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ A Durchschnitt B = A zeigen?

24.10.2011, 13:10

Gast11022013

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RE: äquivalenz von 2 Mengen
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :"

1. A ist echte Teilmenge:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A, x\notin (B\setminus A) \end{eqnarray*}$ , dann...

2. A=B

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow: \end{eqnarray*}$ "

Es gelte $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ , dann...oder...

24.10.2011, 13:33

pirschi111

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also was ich jetzt davon begriffen habe heißt x element A , x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A\b x element a und x element b oder?

24.10.2011, 13:36

Gast11022013

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Male Dir mal einen Kreis (das ist die Menge B) und darin liegt ein kleinerer Kreis (das ist die Menge A in dem Fall, daß A eine echte Teilmenge von B ist).

Nun heißt

a) $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , daß das Element x in dem kleineren der beiden Kreise liegt.

b) $\begin{eqnarray*} x\notin (B\setminus A) \end{eqnarray*}$ , daß das Element nicht in dem Bereich liegt, der um den kleineren der beiden Kreise ist, also in Worten: x ist nicht in B ohne A.

24.10.2011, 17:32

pirschi111

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und daraus folgt dann, dass a a x entweder in A ist oder nicht in A?

24.10.2011, 17:38

Gast11022013

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Was meinst Du mit " a a x"??

24.10.2011, 17:46

pirschi111

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gott das weiss ich schon nichtmal mehr mich verwirrt die Aufgabe total

24.10.2011, 17:52

pirschi111

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ich schreib sie dir mal ganz hin vielleicht kannst du mir dann allgemein nochn tipp geben wie man das genau angeht, weil ich davon noch keine ahnung habe und mir das vl-skript nicht wirklich weiterhilft.

Es seien A und B 2 Mengen. Zeige das die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. A Teilmenge B

2. A schnittmenge B = A

3. A vereinigung B = B

4. A\B = leere Menge

5. es gibt eine Menge C mit B = A vereinigung C

6. es gibt eine Menge D mit A = B schnittmenge D

vielleicht fällt dir ja ein hilfreicher Tipp ein

24.10.2011, 17:54

pirschi111

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als Grundidee fehlt mir nur ein die Äquivalenzen der Reihe nach abzuarbeiten also A äquiv. B dann B zu C dann ist c auch zu a äqui usw, falls das stimmt

24.10.2011, 17:58

Gast11022013

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Was Du zeigen musst, ist Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (4)\Rightarrow (5)\Rightarrow (6)\Rightarrow (1) \end{eqnarray*}$

Du kannst beginnen, wo Du möchtest, also zum Beispiel auch bei der 4. Aussage und dann die 5. Aussage zeigen, dann die 6. Aussage, dann die 1. Aussage und so weiter.

24.10.2011, 18:11

Gast11022013

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Jetzt nochmal zu $\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$ .

1. Fall: A ist echte Teilmenge von B.

Sei x ein beliebiges Element in A, d.h.

sei $\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in B, x\notin (B\setminus A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in A\cap (B\setminus (B\setminus A))=A\cap B \end{eqnarray*}$

Dies gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , denn x war beliebig gewählt.

2. Fall: A=B

Sei wieder $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ beliebig.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in B\Rightarrow x\in (A\cap B)=A (=B) \end{eqnarray*}$

24.10.2011, 18:25

pirschi111

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wo kommt der erste Pfeil beim fall a=b her?

24.10.2011, 18:26

Gast11022013

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Naja, wenn die Mengen A und B identisch sind und x ein Element in A ist, ist x natürlich auch Element der Menge B.

24.10.2011, 18:31

pirschi111

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mit =A(=B) meinst du man könnte auch B statt A schreiben?

24.10.2011, 18:37

Gast11022013

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Genau, da ja A=B.

24.10.2011, 18:50

pirschi111

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und bist du bereit noch was zu 2) ---> 3) zu sagen ich hab jetzt die ganze zeit überlegt, aber mir fällt einfach kein Ansatz ein.

24.10.2011, 19:01

Gast11022013

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Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, was man da groß beweisen soll, weil das eigentlich total offensichtlich ist.

Vielleicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} A\cap B=A\Rightarrow A\subset B \text{oder}A=B\Rightarrow A\cup B=B \end{eqnarray*}$

Das lesen ja bestimmt einige User mit, die können ja mal einschreiten, wenn das so nicht okay ist, aber mir fällt da echt nichts Anderes ein, weils irgendwie so klar ist.

25.10.2011, 01:10

Gast11022013

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Naja, da ich jetzt merke, daß ich Dir bis jetzt eigentlich gar keine konkrete Hilfe gegeben habe und noch Vieles offen ist, führe ich mal den ersten Schritt ausführlich vor (um mein bisherigen unklares Geschwafel mal ein bisschen wettzumachen):

$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2): \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} A\subseteq B\Rightarrow \forall x: x\in A\Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ .

Diese Bedingung merken wir uns mal für später.

(Ob A nun echte Teilmenge oder identisch B ist, spielt eigentlich überhaupt keine Rolle, dem habe ich oben zu viel Bedeutung beigemessen, sorry.)

Zu zeigen ist nun, daß $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ .

Man muss also zwei Mengeninklusionen zeigen:

1.) " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$

2.) " $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Dann gilt wegen der obigen Bemerkung $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A\cap B \end{eqnarray*}$

Also gilt (2).

So, jetzt hast Du es (endlich, nachdem ich so lange herumgeeiert habe) mal ausführlich gesehen, wie man das macht und Du kannst Dich jetzt in ähnlicher Weise mal an

$\begin{eqnarray*} (2)\Rightarrow (3) \end{eqnarray*}$ versuchen.

Augenzwinkern

25.10.2011, 11:37

pirschi111

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ok korrekt das hab ich jetzt kapiert leider sitze ich im pc zentrum und hab meinen kugelschreiber zuhause vergessen :/

25.10.2011, 11:37

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} A\cap B=A\Rightarrow A\subset B \text{oder}A=B\Rightarrow A\cup B=B \end{eqnarray*}$

Naja man kann ja $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ z.B. als $\begin{eqnarray*} x \in A \rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ definieren, dann ist aber noch etwas zu zeigen.

Edit:
Hätte wohl auch den Beitrag nach dem zitierten lesen sollen. Da macht Dennis genau das was ich hier vorgeschlagen habe.

25.10.2011, 12:42

Gast11022013

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Deswegen habe ich ja in meinem letzten Beitrag das nochmal ausgeführt.

25.10.2011, 12:55

Gast11022013

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Ich kann das ja nochmal ein bisschen ausführen bzw. andeuten.

$\begin{eqnarray*} (2)\Rightarrow (3): \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, daß $\begin{eqnarray*} A\cup B=B \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\vee x\in B\Rightarrow\hdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hdots \end{eqnarray*}$

(Hier jetzt die Voraussetzung nutzen und einsetzen und daraus folgern, daß $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ .)

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} x\in B\Rightarrow\hdots \end{eqnarray*}$

Das sind maximal zwei Zeilen.

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