Taylor Approximation von sin(x)

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mathew Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor Approximation von sin(x)
Hallo Forum !

Ich habe eine Frage bezüglich der Taylor approximation von sin x die wie folgt lautet.

Die Funktion f(x)=sin(x) wird um den entwicklungspunkt a=0 approximiert. Nun soll berechnet werden wie gross n mindestens sein muss, sodass f(2)=sin(2) mit einer genauigkeit von 1/(10^6) aproximiert wird.

Also mein lösungsansatz ist jetz folgender, ich nehme die lagrange-gleichung und setze die komponenten ein und setze diese dann mit gleich. Das ergibt dann folgende Gleichung
=

Das Intervall is (0,2)
a=0
das epsilon=e müsste gleich 2 sein da gilt epsilon= (x-a)=(2-0)=2

eingesetzt :
=

nun da wir uns ja an (sin(2) annähern müsste n ungerade sein damit die ableitungszahl gerade ist und somit sin(x) wird ?

Nun wollte ich mal grundsätzlich fragen ob mein Ansatz so stimmt ?

Kann ich nun (n+1)! durch die stirling formel annähern ? Ich weiss dass die Stirling formel eigentlich nur für grosse n gedacht ist, aber könnte ich sie hier dennoch verwenden ?

Nun ich habe die obige gleichung mal probiert aufzulösen, kriege aber je nach lösungsweg mehrer lösungen (n=7=,(n=10) sowie n=15.

Kann mir jemand einen tipp geben, wie ich die obige GLeichung korrekt auflöse ?

Danke im Voraus

Gruss mathew
mathew Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor Approximation von sin(x)
also im Prinzip muss folgendes gelten

für x=2 was bekannt ist muss also als Näherung gelten



Nun weiss ich allerdings nicht, wie ich diese Gleichung auflöse !

Ich weiss zwar dass n ungerade sein muss und als betrag müsste n~11 richtig sein.
aber wie gesagt, das korrekte auflösen der Gleichung nach n bereitet mir Probleme.

Kann mir jemand eine Idee geben ? oder mal einen Ansatz machen?

mfg mathew
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor Approximation von sin(x)
Nicht ganz, es reicht



Und da lässt sich doch sicherlich eine geeignete Abschätzung finden, die man dann einfacher umformen kann Augenzwinkern
mathew Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor Approximation von sin(x)
und wie mache ich diese abschätzung ?

kann ich für (n+1)! die stirling formel verwenden als annäherung ?

also ??

das hab ich schon gemacht. habe aber probleme die gleichung richtig aufzulösen ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Stirling ist eine Näherung, keine Abschätzung.

Überleg Dir einmal, was im Nenner des Terms auf der linken Seite stehen müsste, damit sich eine Vereinfachung ergibt, die es ermöglicht das n im Exponenten zu berechnen.
Wenn Du das herausgefunden hast, dann überleg Dir, ob deine Abschätzung für (n+1)! so korrekt ist.
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