Gruppenaxiome mit Addition von Geschwindigkeiten beweisen

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Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenaxiome mit Addition von Geschwindigkeiten beweisen
Meine Frage:
Hallo,
also ich soll für Übung folgende Aufgabenstellung lösen:

Es sei c>0 eine Konstante (Lichtgeschwindigkeit).
= (-c,c) ist
Man zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.

Hinweis: Vor dem Nachweis der Gruppenaxiome muss noch für gezeigt werden.

Meine Ideen:
hier ist eben mein großes Problem. Ich kenne ja die Gruppenaxiome, nur hab ich keinen Ansatz, wie ich diese auf dieses Beispiel anwenden soll. Ich bin wirklich überfordert mit dem Verständnis der Algebra. Ich habe jetzt auch schon Bücher und Internet durchstöbert zum Beweis einer Gruppe an einem direkten Beweis aba irgendwie verwirrt mich das ncoh mehr. Ich wär euch sehr dankbar für einige Ansätze oder herangehensweisen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Harry123
Ich kenne ja die Gruppenaxiome, nur hab ich keinen Ansatz, wie ich diese auf dieses Beispiel anwenden soll.

Du sollst sie nicht anwenden, sondern musst sie nachweisen, für deine konkrete Grundmenge samt Operation!

D.h. du musst Assoziativität, Kommutativität, Existenz eines neutralen Elementes und Existenz der inversen Elemente für dein bezogen auf die Grundmenge nachweisen.
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle antwort.

aber wie geh ich daran. ich weiß ja ncoh nciht mal nen anfang hierfür Hammer
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir gleich mal den rechenaufwändigsten Brocken: Für Assoziativität musst du



für alle nachweisen. Also setze doch mal deine Operation links und rechts ein und vereinfache. Ich fang mal links an mit dem Einsetzen,

,

jetzt darfst du vereinfachen... Rechts dann genauso, und wenn sich tatsächlich Gleichheit ergibt, ist die Assoziativität nachgewiesen.


Die anderen Axiome sind vergleichsweise einfacher im Nachweis.
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, schonmal nen anfang aber meine fragen erweitern sich Big Laugh

bei
,

kann ich dort wie es im nenner steht, einfach annehmen dass ist?

und wenn ich das für die rechte seite ausrechnen will, kann ich dann sagen, dass ist?

und wenn ja, kann ich es dann vertauschen? also in diese Form bringen ?

du siehst, es sind wirklich große verständnislücken dabei. muss auch zu meiner verteidigung sagen, dass ich das Fach auch erst 2 wochen habe, aber irgendwie hat es eben ncoh nciht klick gemacht.
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauch immernoch dringend hilfe zu diesem sachverhalt, bitte Big Laugh
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Harry123
kann ich dort wie es im nenner steht, einfach annehmen dass ist?


Nein, das sind zwei verschiedene Dinge.

Zitat:
Original von Harry123
wenn ich das für die rechte seite ausrechnen will, kann ich dann sagen, dass ist?


Ja. Jetzt mußt du aber noch das verbliebene auflösen.

Zitat:
Original von Harry123
und wenn ja, kann ich es dann vertauschen? also in diese Form bringen ?


Hm. Irgendwie scheint mir, daß dir der Unterschied zwischen dem Assoziativ- und Kommutativgesetz noch nicht klar ist. Wenn du das Kommutativgesetz für bereits gezeigt hast, darfst du so rechnen. Aber was bringt es dir für das Assoziativgesetz?

Ich glaube, es bleibt dir nichts anderes übrig, als den Term, den René dir genannt hat, zu "vereinfachen". Ist ein bißchen eklig, führt aber letzten Endes auf den übersichtlichen Ausdruck




Jetzt noch zum andern Teil der Aufgabe.

Die Eigenschaft ist äquivalent zu



und garantiert, daß die Operation nicht aus hinausführt.

Zum Beweis von überlegt man sich zunächst, daß immer ist. Das ist so, weil das Produkt dann negativ mit möglichst großem Betrag wird, wenn einer der Faktoren nahe , der andere nahe ist. Es gilt also stets und daher .
Jetzt multipliziert man mit und erhält äquivalent:



Und wenn man den mittleren Term subtrahiert, bekommt man



Bisher wurde nur die Behauptung äquivalent umgeformt. Jetzt muß man sich aber überlegen, warum das gilt. Und dazu nur ein Tip: In der letzten Ungleichung links und rechts kann man die Terme als Produkte schreiben.

Ich finde die Aufgabe interessant. Ich bin kein Physiker, erahne aber, worum es da gehen könnte. Nehmen wir einmal .
Wenn man nun "zivile" Geschwindigkeiten nimmt, gibt es fast keinen Unterschied zwischen und (Newtonsche Physik). Beispiel: und . Auf genau errechnet man und .
Bewegt man sich jedoch nahezu mit Lichtgeschwindigkeit, so addieren sich die Geschwindigkeiten zur Lichtgeschwindigkeit (Einsteinsche Physik). Beispiel: und . Hier erhält man .
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir erstmal leopold, bringt mich wieder etwas voran. also ich glaube mein eigentliches problem ist dabei, dass ich nciht so recht was mit den verknüpfungen anfangen kann..... weiß eben nciht wie ich diese rein rechnerisch deuten kann. wie bereits für mich gelöst wurde in dieser aufgabe , weiß ich eben nciht wie man so recht drauf kommt, das ist hier momentan das problem.

also zu den anderen axiomen hab ich mir überlegt, dass das neutrale element ja 0 (null) ist. zumindest finde ich das so in büchern, weil das eien additive gruppe ist. ist das so definiert oder existieren auch andere neutrale elemente für eien additive gruppe?

und ich denk mir auch einfach mal, dass die inverse gruppe ja dann sein könnte. und wenn cih dann durchführe, komme ich ja wieder auf mein neutrales element. ist das soweit richtig?

naja und wie ich jetzt speziell das kommukative gesetz an diesem beispiel nachweisen kann weiß ich auch nciht so recht. müsste das dann so aussehen?



Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du solltest einfach einmal für ein paar Zahlen berechnen. Um etwas Konkretes vor Augen zu haben, nimm .

Berechne und in der Reihenfolge, wie es die Klammern angeben, ohne zu vertauschen. Vergleiche dann die Ergebnisse. Du wirst sehen, daß dasselbe herauskommt, egal, wie du klammerst. Und das sollst du dann allgemein zeigen. Vielleicht denkst du, das sei eine Selbstverständlichkeit. Das ist es aber nicht. Du kennst wahrscheinlich das Vektorprodukt im . Für dieses gilt zum Beispiel das Assoziativgesetz nicht. Wenn die kanonischen Einheitsvektoren sind, dann gilt





Und das ist nicht dasselbe.

Jetzt zurück zur Aufgabe. Eigentlich hat René das Vorgehen schon geschildert. Vielleicht hilft es dir, wenn du für das Zwischenergebnis eine Hilfsgröße einführst:



Jetzt berechne nach der Definition von und ersetze dann wieder durch den Ausdruck, den es definiert. Dann solltest du auf Renés Term kommen.
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

genau hier kommt ja mein eigentliches problem. wie ist denn definiert? irgendwie ist das in meinen vorlesungen nciht so wirklich klar geworden. es wurde zwar mal gesagt, dass es eben eine verknüpfung ist aber nciht so wirklich wie man damit umgehen muss. und irgendwie werd ich daraus eben auch nciht schlau was im internet und in büchern darüber korsiert. es wurde in meienr vorlesung auch mal erwähnt, dass man es in abelschen gruppen auch als "+" behandeln kann. aber danach war ich dann ganz verwirrt -.-

vllt könnt ihr mir ja ne kurze definition dazu geben?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenaxiome mit Addition von Geschwindigkeiten beweisen
So ist es definiert:

Zitat:
Original von Harry123
Es sei c>0 eine Konstante (Lichtgeschwindigkeit).
= (-c,c) ist


Wenn die Funktion durch gegeben ist, und du sollst das Gesetz



zeigen, dann fragst du doch auch nicht: Wie ist eigentlich definiert?

Beispiele (mit ):





So ist's definiert. Ich weiß da auch nicht mehr, als was in deiner Aufgabe steht.
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

achso....jetzt versteh ich das. ich dachte es gibt jetzt wirklich irgendeine allgemeine rechenoperation für . aber im endeffekt nimmst du die definition nur aus der aufgabenstellung.

aber es ist für mcih immernoch ein rätsel wie man dieses w dort verknüpft hat. also hier: ,

im zähler wurde es einfach addiert und im nenner dazu multipliziert. also warum es im zähler dazu addiert wurde, könnte ich mir vorstellen. ich denke das könnte so sein.





speziell für den zähler:



für eingesetzt.

seh ich das soweit richtig? und wie wurde es dann im nenner gemacht?
wie gesagt ich kann das eben nicht so recht nachvollziehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Harry123
wie gesagt ich kann das eben nicht so recht nachvollziehen.


Dabei hatte ich es bereits erklärt:

Zitat:
Original von Leopold
Vielleicht hilft es dir, wenn du für das Zwischenergebnis eine Hilfsgröße einführst:



Jetzt berechne nach der Definition von und ersetze dann wieder durch den Ausdruck, den es definiert. Dann solltest du auf Renés Term kommen.


Liest du eigentlich meine Beiträge?
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

ja na sicher les ich die, aber so richtig klick hat es dennoch nciht gemacht. ich weiß eben nciht wie ich dann berechnen soll, dass dann am ende eben diese formel rauskommen soll.



ich überlege ja schon die ganze zeit.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie du berechnen kannst, kannst du auch berechnen. Wer nimmt jetzt welche Rolle ein?

[Wenn du den Satz des Pythagoras als kennst, wo die Katheten und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sind, dann kannst du ihn doch auch anwenden, wenn die Katheten und und die Hypotenuse heißen.]
Harry123 Auf diesen Beitrag antworten »

ah na klar..... och mensch, wie dumm von mir. liegt doch quasi auf der hand der sachverhalt. naja jetzt ergibt es wieder nen klares bild. hab wohl zu kompliziert gedacht. oh man.... Big Laugh

ok leopold ich danke dir und entschuldige meinen tunnelblick gerade Big Laugh
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