Q-Vektorraum R, Basis, lineare Unabhängigkeit

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Carina168 Auf diesen Beitrag antworten »
Q-Vektorraum R, Basis, lineare Unabhängigkeit
Meine Frage:
Hallo!
meine Frage:
sind Wurzel 2 und Wurzel 7 im Q-Vektorraum R linear unabhängig?
Bilden sie eine Basis?
Kann man überhaupt eine Basis in diesem Vektorraum angeben?

Meine Ideen:
ich denke, dass sie eigentlich linear undabhängig sein müssten, weil der Nullvektor sich ja nur als triviale Linearkombination darstellen lässt.
Aber bei der Frage nach der Basis komme ich nicht weiter.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst Du mit eine rationale Zahl erzeugen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo helferlein,
das sehe ich genauso.
Carina168 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe verstanden, dass die Koeffizienten im Q-VR R rational sein müssen.
Ich dachte nur, dass mit 0+0=0 die beiden linear unabhängig sind.
oder bezieht ihr euch auf die Basen?
Würdet ihr mir das bitte bitte noch etwas genauer erklären?
danke schonmal!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Lineare Unabhängigkeit musst Du zeigen, dass die von Dir angegebene Darstellung die einzige Möglichkeit ist, dieNull zu erzeugen:



Wenn es eine Basis von R sein soll, dann müsste sich jede reelle Zahl als Linearkombination mit rationalen Koeffizienten darstellen lassen. Das klappt aber bei rationalen Zahlne ungleich Null niemals (Beweis dazu ist deine Sache Augenzwinkern )
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo carina,
also wurzel aus 2 und wurzel aus7 sind natürlich linear unabhängig über Q.
Wir meinten, das man nicht mit einer linearkombination aus wurzel 2 und
wurzel7 alle rationalen zahlen erzeugen kann, das beantwortet die zweite
frage, ob es überhauprt so eine basis gibt.
 
 
Carina168 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Erklärung, jetzt ist mir das schon viel klarer.

Zur letzten Absicherung:

1) und sind zwar in Q aber nicht in R linear unabhängig, weil es in R außer der trivialen noch andere Linearkombinationen gibt z.B. - und 1.

2) Eine Basis im Q-Vektorraum R kann man aber gar nicht richtig angeben oder? ich kann ja mit keiner reelen Zahl als Vektor und rationalen als Koeffizient eine rationale Zahl erzeugen und umgekehrt ebenso. aber es hat doch jeder VR eine Basis. Das ist ja jetzt auch wieder doof...

es wäre super lieb, wenn ihr mir hier nochmal helfen würdet.
ganz liebe Grüße
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo carina,
du siehst das alles richtig, und man kann grundsätzlich nicht alle reellen zahlen mit einer linearkombination aus rationalen zahlen
und endlich vielen basisvektoren erzeugen.(daran sieht man auch, das die reellen zahlen viel komplizierter strukturiert sind als die
rationalen). Das ist leider so. Ich glaube, deswegen sagt man, dass der grad der reellen zahlen über den rationalen zahlen schon unendlich ist.
gruss ollie3 smile
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Was man unter anderem auch schon daran sieht, dass ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den rationalen Zahlen abzählbar viele Elemente enthält, was auf die reelle Zahlen nicht zutrifft.

Und sogar noch stärker: Die reellen Zahlen haben sogar unendlichen Transzendenzgrad über den rationalen Zahlen (falls dir das was sagt).
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