injektiv und surjektiv

24.10.2011, 14:41	Jay Jay	Auf diesen Beitrag antworten »
injektiv und surjektiv Meine Frage: wie kann ich zeigen, dass dieser term $\begin{eqnarray} n+(-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb N \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray}$ injektiv (und surjektiv) ist? Meine Ideen: die methode: $\begin{eqnarray} f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b \end{eqnarray}$ haut nicht hin und bei surjektivität fällt mir auch nicht ein wie ich das beweisen könnte...
24.10.2011, 14:45	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Injektivität zu zeigen, ist ja nicht so schwer. Oder? Du nimmst an, daß $\begin{eqnarray} f(n)=f(\tilde n) \end{eqnarray}$ und zeigst, daß $\begin{eqnarray} n=\tilde n \end{eqnarray}$ . PS. Wieso haut die Methode nicht hin?
24.10.2011, 14:55	Jay Jay	Auf diesen Beitrag antworten »
naja $\begin{eqnarray} f(n)=f(\tilde n) <br /> \Leftrightarrow n+(-1)^{n+1} = \tilde n+(-1)^{\tilde n+1} <br /> \Leftrightarrow n- \tilde n = (-1)^{\tilde n+1} -(-1)^{n+1}<br /> \Leftrightarrow n- \tilde n = (-1)^{\tilde n+1} +(-1)^{n} \end{eqnarray}$ weiter komm ich nicht
24.10.2011, 15:26	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht geht's auch eleganter, aber mit ein bisschen Fallunterscheidung sind Injektivität und auch Surjektivität gut zu knacken. Ich schreibe statt $\begin{eqnarray} \tilde n \end{eqnarray}$ mal lieber $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , ist einfacher zu tippen. Also sei $\begin{eqnarray} n - (-1)^n = k-(-1)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n-k = (-1)^n-(-1)^k \end{eqnarray}$ Die rechte Seite kann betragsmäßig nur höchstens 2 sein, alles andere wäre ja unsinnig. Das gilt also auch für n-k. Also $\begin{eqnarray} \|n-k\| \leq 2 \end{eqnarray}$ . Nun kann man die Fälle \|n-k\|=1 und \|n-k\|=2 sofort zum Widerspruch führen (spiel ein bisschen mit den Exponenten rum). Es folgt: \|n-k\|=0, also Gleichheit. Wie gesagt: Geht vielleicht auch einfacher, aber so haut es hin. Zur Surjektivität: Du kannst einfach konkret zu einem beliebigen $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ein Urbild angeben. Unterscheide dabei k gerade und k ungerade.
24.10.2011, 19:51	Jay Jay	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich glaub ich habs danke euch beiden!

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