Mengenlehre

24.10.2011, 17:30

coolmaik

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Mengenlehre

Hey, wir haben ein paar Matheaufgaben zum üben bekommen, aber mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht klar... zwar weis ich was ich machen muss bei a bis c, aber ich habe Probleme beim ermitteln/umformen der Mengen

Kann mir jemand dabei helfen oder ein paar Tipps geben?

hier die Aufgabe:

http://img4.fotos-hochladen.net/uploads/apc20111028rf7j50m6k.jpg

24.10.2011, 17:46

Gast11022013

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Vielleicht wäre es gut, wenn Du Deine Ideen aufschreibst!

Mal zu der ersten Aufgabe:

Forme mal die Ungleichung bei $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ um, dann erkennst Du eine gewisse Ähnlichkeit zur Menge $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ und kannst die Vereinigung als eine Menge formulieren.

24.10.2011, 18:27

qed

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Servus!

Ich habe mich zur Übung auch an den Aufgaben versucht.
Stimmt es, dass die Vereinigung von M1 und M2 die leere Menge ist?

Ich gebe meine Ansätze vorerst nicht preis, um den Übungseffekt für den Fragesteller nicht zu beeinflussen.

Lg

24.10.2011, 18:32

coolmaik

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Danke für die schnellen Antworten...

also wenn ich $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ umforme kommt folgendes raus:
y< $\begin{eqnarray*} \frac{-2x+10}{2} \end{eqnarray*}$

und eine gewisse Ähnlichkeit zu $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ besteht:
- beide nach y aufgelöst
- beide enthalten x und eine natürliche Zahl

könnte ich hier vielleicht noch was kürzen oder gleich setzten oder geht das in die verkehrte Richtung? Oder muss ich jetzt schon die Vereinigungsmenge bilden?

ZU $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ :
hier kann ich ja das kartesische Produkt zweier Mengen bilden

also $\begin{eqnarray*} A_1*A_2 \end{eqnarray*}$ =(1,0), (1,3), (2,0), (2,3)

24.10.2011, 18:34

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} M_1=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\geq 0, y\geq 0, 2x+2y<10\right\}=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\geq 0, y\geq 0, y<5-x\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\geq 0, y\geq 0, y=-\vert x\vert +5\right\} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist der Betrag überflüssig und daher

$\begin{eqnarray*} M_2=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x\geq 0, y\geq 0, y=5-x\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M_1\cup M_2=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\geq 0, y\geq 0, y\leq 5-x\right\} \end{eqnarray*}$

So, das ist meine Idee/ Lösung.

24.10.2011, 18:43

qed

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Sorry hatte einen Angabefehler!

Komme jetzt auf das selbe!

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24.10.2011, 18:44

coolmaik

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ah ok du hast aus y< $\begin{eqnarray*} \frac{-2x+10}{2} \end{eqnarray*}$ also y< $\begin{eqnarray*} {-x+5} \end{eqnarray*}$ gemacht... da ist mit einleuchtend und jetzt sehe ich auch die Ähnlichkeit zu $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ... und da x positiv ist, können wir den Betrag ignorieren

24.10.2011, 18:45

Gast11022013

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Das ist gut, dann liege ich wohl nicht ganz falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entschuldigung übrigens, daß ich gleich so mit der Lösung herausgeplatzt bin, ich habe den Beitrag zu spät gesehen.

24.10.2011, 18:46

Gast11022013

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Zitat:

Original von coolmaik
ah ok du hast aus y< $\begin{eqnarray*} \frac{-2x+10}{2} \end{eqnarray*}$ also y< $\begin{eqnarray*} {-x+5} \end{eqnarray*}$ gemacht... da ist mit einleuchtend und jetzt sehe ich auch die Ähnlichkeit zu $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ... und da x positiv ist, können wir den Betrag ignorieren

Genau und dann wird aus dem $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ der beiden Mengen eben ein gemeinsames $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , denn Vereinigung bedeutet ja so viel wie "ODER", das heißt nur eins davon muss erfüllt sein. Deswegen kann man es in einen Topf bzw. eine Menge werfen.

24.10.2011, 19:02

coolmaik

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ok, nun zur Schnittmenge... das ist ja der Teil der in beiden Mengen vorkommt

meine Idee wäre: $\begin{eqnarray*} M_1 geschnitten M_2 \end{eqnarray*}$ =y "kleiner oder gleich" 5

aber die Lösung wäre bestimmt zu einfach oder?

PS: sorry für die Schreibweise, komme mit der Symbolik im Forum noch nicht so zurecht

24.10.2011, 19:08

Gast11022013

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Der Schnitt enthält alle Elemente, die sowohl in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ , als auch in $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Du kannst sehr leicht mal testen, welches Element aus $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist, indem Du einfach die Bedingung prüfst, die die Zweiertupel erfüllen müssen, um in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ zu sein.

Die erste Bedingung ist, daß die x- und y-Werte größer /gleich Null sind.

Das erfüllen alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ .

Erfüllen aber auch alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung, die erfüllt sein muss??

24.10.2011, 19:19

coolmaik

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oh sorry der Post davor war ja totaler Schwachsinn weil wir ja die Schnittmenge von M2 und M3 bilden sollen und nich von M1 und M2... mein Fehler

also es erfüllen nur die Werte (2;3) die Gleichung bei M2

3=-2+5
3=3

24.10.2011, 19:20

Gast11022013

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Ja, richtig und deswegen ist

$\begin{eqnarray*} M_2\cap M_3=(2,3) \end{eqnarray*}$ .

24.10.2011, 19:29

coolmaik

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bei der Differenz suchen wir ja alle Elemente die in M2 enthalten sind, aber nicht zu M3 gehören...

sind jetzt die restlichen Elemente von M3 die Differenzmenge von M2... ich glaube zwar eher nicht, weil das wäre ja dann die Differenzmenge von M3 oder???

24.10.2011, 19:32

Gast11022013

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Nein, Du suchst alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ohne die Elemente, die in $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ sind.

Sprechweise:
$\begin{eqnarray*} A\setminus B=\text{A ohne B} \end{eqnarray*}$

24.10.2011, 19:46

coolmaik

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noch ein Versuch:

x"größer, gleich" 0: x"ungleich" 1;2
y"größer" 0: y"ungleich" 3
y=-IxI+5

sorry für die Schreibweise, ich hoffe du verstehst es...

24.10.2011, 20:09

Gast11022013

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Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir ja, daß aus der Menge $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ ohnehin nur das Element $\begin{eqnarray*} (2,3) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} M_2\setminus M_3=M_2\setminus (2,3) \end{eqnarray*}$ , würde ich meinen.

Inwiefern man das noch an die Bedingungen anpassen will, kann man selbst entscheiden, vielleicht:

$\begin{eqnarray*} M_2\setminus M_3=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2, x\geq 0\wedge x\neq 2, y\geq 0\wedge y\neq 3, y=-\vert x\vert+5\right\} \end{eqnarray*}$

[Die anderen Elemente von $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ sind ja eigentlich egal, denn sie sind ja sowieso nicht in $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2011, 20:17

coolmaik

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ich glaub ich habs soweit verstanden...

vielen Dank für deine Hilfe, ich hoffe ich war kein hoffnungsloser Fall Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2011, 20:22

Gast11022013

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Nein, warst Du nicht.

Das ist eben das übliche Mengengewusel. Big Laugh

Big Laugh

Und Deine Ideen waren doch brauchbar, wenn auch nicht immer korrekt.
Aber was wichtiger als fertige Lösungen sind, ist eine Idee.

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